用有界度逼近图中色数的硬度

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我正在寻找有界度的图的顶点着色的硬度结果。

给定一个图，我们知道对于任何，都很难在的系数内近似除非 [ 1 ]。但是，如果的最大程度受约束，该怎么办？在这种情况下，是否存在形式为（对于某些）的硬度比？ $G(V,E)$ $\epsilon>0$ $\chi(G)$ $|V|^{1-\epsilon}$ $\textit{NP}=\textit{ZPP}$ $G$ $d$ $d^{1-\epsilon}$ $\epsilon$

一个更简单的问题是：当超图的边缘尺寸以为边界时，逼近超图的边缘色数的难度。在这种情况下，我们可以希望获得硬度比吗？（例如，对于任何） $d$ $d^{1-\epsilon}$ $\epsilon >0$

感谢您的关注！

— afshi7n
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3

您可以使用孤立的顶点填充硬实例

— Sasho Nikolov

2

是的，但是如果您对开始的硬实例的大小进行有限的限制，则它不再是硬的。

— David Eppstein

1

@Sasho孤立的顶点不增加色数或最大程度时如何提供帮助？

— afshi7n

2

@DavidEppstein可以肯定，如果

和

仍是多项式相关的，则此填充仅证明某些内容。OP，这实际上就是重点。你开始用一个实例

顶点（所以最大程度最多

），这就是它很难近似

内

。添加

孤立的顶点。

保持不变，最大度数保持

。如果

这是多重时间。所以对于任何整数

n

$n$

d

$d$

d

$d$

d

$d$

χ

$\chi$

d^{1 - ϵ}

$d^{1-\epsilon}$

n - d

$n - d$

χ

$\chi$

d

$d$

N = d^{O (1)}

$N = d^{O(1)}$

k

$k$ 中，存在有最大程度的实例

，这就是它很难接近

内

d = n^{1 / k}

$d = n^{1/k}$

χ

$\chi$

d^{1 - ϵ}

$d^{1-\epsilon}$

— Sasho尼科洛夫

更新：在

的因子内近似

是NP难的

无需任何额外假设。

χ (G)

$\chi(G)$

| V |^{1 - ϵ}

$|V|^{1-\epsilon}$

— Cyriac Antony

9

正如David指出，Khot的论文，“改进Inapproximability结果MaxClique，色数和近似图形着色”，定理1.6，说，这是NP-很难色 -colorable图与颜色对于足够大的常数，图的度最高为。换句话说，对于程度的图表，它是很难颜色 $K$ $2^{\Omega((\log K)^2)}$ $2^{2^{(\log K)^2}}$ $K$ $d$ 具有颜色的可着色图形。 $2^{\sqrt{\log\log d}}$ $\log d$

为了获得更好的度数约束，您可能可以使用Trevisan的论文“有限度实例的优化问题的非近似结果”。关键的观察结果是，通过FGLSS还原生成的图是完整的两部分子图的并集，并且可以用更稀疏的两部分分散器代替它们。许多结果中使用了类似的想法，例如Chan http://eccc.hpi-web.de/report/2012/110/，定理1.4 /附录D。

我想，这应该给你的东西像所界定度-colorable图表，它是NP-hard的与着色它颜色对于某一常数。 $2^{\sqrt{c\log d}}$ $d$ $d^{c}$ $0<c<1$

Michael提到的论文中的学历与Khot的学历相似，即健壮性的指数。当然，上述稀疏化方法也可以改善这一点，但可能不会为您的目的提供更好的常数。

— 桑峡
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桑夏，感谢您的宝贵帮助。所以，从Khot的文章中，我们可能意味着

硬度比。我想用你的文件的提高，我们可以改善这种硬度比

2^{Ω (\log \log d)}

$2^{\Omega(\log \log d)}$

。那是对的吗？

2^{2^{Ω (\sqrt{\log \log d})}}

$2^{2^{\Omega(\sqrt{\log \log d})}}$

— 2013年

@ afshi7n这里的参数有些棘手。在学历方面表示，Khot的论文中给出

。我的论文大致给出了

。我们可以使用Trevisan的方法来提高图形的约简程度。我相信这会给你

。顺便说一句，所有这些都需要足够大的常数

。

\log d / 2^{\sqrt{\log \log d}}

$\log d / 2^{\sqrt{\log \log d}}$

\log d / (\log \log d)^{3}

$\log d / (\log\log d)^3$

d^{c}

$d^c$

d

$d$

— 桑夏

1

我明白了，谢谢！我还通过电子邮件问Khot，他叫我去本文siam.org/proceedings/soda/2011/SODA11_124_guruswamiv.pdf我相信给

假设Khot 2-1猜想。

d^{c}

$d^c$

— afshi7n

8

Venkatesan Guruswami和Sanjeev Khanna 在“对4色色图进行色的硬度”一书中指出，以最大有界度近似逼近色图的色数的最著名的硬度是： $3$

有一个常数，使得给定最大度数为的色图形，仅使用种颜色对其进行着色就很难NP 。 $\Delta$ $3$ $\Delta$ $4$

— vb le
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8

在Khot的FOCS'01论文“ MaxClique，色度数和近似图着色的改进的逼近度结果”中，有界度图的着色没有逼近度的结果–可能比您想要的要弱，但至少它是在正确的方向上进行的。

$k$ $k$ $2^{k^{O(\log k)}}$ $\exp((\log k)^2/25)$ $d$ $O(\log d)$

— 大卫·埃普斯坦
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\log d

$\log d$

为什么不问霍特呢？

— Chandra Chekuri

1

@chandra刚刚发送了一封电子邮件，问他，谢谢你的建议！我会在这里更新的。

— 2013年

k^{\log k / 25}

$k^{\log k/25}$

\exp ((k \log k) / 25)

$\exp((k\log k)/25)$

2^{k^{1 / 3}}

$2^{k^{1/3}}$

k^{(\log k) / 25}

$k^{(\log k)/25}$

\exp ((k \log k) / 25)

$\exp((k\log k)/25)$

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此结果可能会有所帮助：

$\Delta$ $k=$ $\Delta - \sqrt\Delta +1$ $k\ge 3$

T. Emden-Weinert，S。Hougardy，B。Kreuter，独特的可着色图形和大周长的着色图形的硬度，Combin。Probab。计算 7（4）（1998）375–386

— 穆罕默德·图尔克斯坦尼
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