增加最大切割最小化的能力

考虑所有边具有单位容量的图。可以找到多项式时间的最小值。

假设我可以将任意边的容量增加到无穷大（等同于合并边两边的节点）。选择最佳边集（其容量将增加到无穷大）以最小切割的最佳方法是什么？$k$$k$

定理。 帖子中的问题是NP问题。

所谓“岗位中的问题”，我的意思是，给定一个图形和整数，选择边以提高的能力，从而使修改后的图形中的最小切割最大化。$G=(V,E)$$k$$k$

这个想法是减少最大切割。粗略地说，给定图具有最大切割尺寸当且仅当可以增加的能力，以便边使所得图具有最小切割尺寸。这个想法是边仅够迫使结果图形只进行一次有限容量切割，而这可以是您选择的任何切割。$G=(V,E)$$s$$n-2$$s$$n-2$

这个想法不太奏效，因为要获得给定的割点，您需要将和分别的子图进行连接。但是您可以使用适当的小工具来解决此问题。$(C, V\setminus C)$$C$$V\setminus C$

证明。 给定一个连接图，将一个连接的切割定义为切割这样就可以连接由和引起的子图。将“ 最大连接的切割”定义为查找连接切割（在给定的连接图中）以最大化穿过切割的边数的问题。$G=(V,E)$$(C,V\setminus C)$$C$$V\setminus C$

我们展示了Max Connected Cut减少了帖子中的问题。然后，我们显示未加权的最大切割减少为最大连接切割。

引理1. Max Connected Cut减少了多边形时间，解决了帖子中定义的问题。

证明。 给定Max-Connected-Cut实例，令。为了证明引理，我们证明以下内容：$G=(V,E)$$k=|V|-2$

权利要求1： 对于任何，有一个连接切口在至少容量的，IFF所以能够提高边容量在到无穷大，使得所得到的曲线图具有分削减能力至少。$s>0$$(C,V\setminus C)$$G$$s$$k$$G$$s$

仅在以下条件下：假设存在一个至少为的连通切口。令和为分别跨越和子树，然后提高和中边缘的容量。（请注意。）因此，图中剩余的唯一有限容量切割为，容量至少为，因此生成的图的最小切割容量至少为。$(C,V\setminus C)$$s$$T_1$$T_2$$C$$V\setminus C$$T_1$$T_2$$|T_1|+|T_2|=|C|-1 + |V\setminus C|-1 = |V|-2 = k$$(C, V\setminus C)$$s$$s$

IF：假设有可能提高边缘容量，以使所得图形的最小切割容量至少为。考虑由凸起边缘形成的子图。不失一般性，假定该子图是非循环的。（否则，从凸起边缘的循环中“凸起”一个边缘，而是凸起一些未凸起的边缘，该未凸起边缘将子图中的两个连接的组件连接起来。这只会增加结果图中的最小切割。）通过选择，凸起边缘的子图具有两个相连的分量，即和，因此结果图中唯一的有限容量切割为$k$$G$$s$$k$$k=n-2$$C$$V\setminus C$$(C,V\setminus C)$。并且此切割的容量至少为，如原始图中所示。$s$

这证明了要求（和引理）。（QED）

为了完整起见，我们通过减少未加权的Max Cut来显示Max Connected Cut是NP完全的。

引理2. 未加权的最大切割将多边形时间减少到最大连接切割。

证明。对于任何整数，将图定义为由两条路径和，每条路径的长度为，并且具有从中的每个顶点到每个顶点的边。我们把它作为一个练习留给读者来验证最大削减（在一边，另）有大小，并没有其他的切口具有尺寸大于，比如说，。$N\ge 1$$P(N)$$A$$B$$N$$A$$B$$P(N)$$A$$B$$N^2$$N^2-N/100$

这是减少。给定任何未加权的Max Cut实例，如下构造图。令。令。将上面定义的图（带有两个路径和）添加到。从每个顶点在一个顶点添加一条边，在一个顶点添加另一边。这定义了减少量。最后，我们证明它是正确的：$G=(V,E)$$G'=(V',E')$$n=|V|$$N = 100(n^2 + 2n)$$G$$P(N)$$A$$B$$v\in V$$A$$B$

权利要求2： 对于任何，有一个切口在至少容量的，IFF有处于连接切口的大小中的至少。$s\ge 0$$(C,V\setminus C)$$G$$s$$G'$$s+N^2+n$

仅当：给定任何切口在容量的至少，考虑所连接切口在。在这种连接切切口至少从边缘到，加从边缘到，加所述的边缘从到。$(C,V\setminus C)$$G$$s$$(A\cup C, B\cup V\setminus C)$$G'$$G'$$s$$C$$V\setminus C$$N^2$$A$$B$$n$$2n$$V$$A\cup B$

IF：假设在中有一个至少为的连通切口。和$G'$$s+N^2+n$$A$$B$在切口的相对两侧。（否则，自第二大切入$P(N)$ 最多削减 $N^2-N/100$ 在边缘 $P(N)$，切边的总数最多为 $N^2-N/100 + |E| + 2|V| \le N^2 - N/100 + n^2 + 2n = N^2$。）让 $C$ 表示中的顶点 $V$ 在切边 $A$。再就是边缘在从切断到，和从到，因此必须有至少从到。$N^2$$A$$B$$n$$V$$A\cup B$$s$$C$$V\setminus C$

这证明了索赔和引理2。（QED）

根据引理1和2，由于未加权的最大剪切是NP难的，所以帖子中的问题也是NP难的。