矩阵刚度和低刚度矩阵的使用

如果将等级降到，则矩阵大约是刚性的 $n$ ，对于某些，必须至少更改其项的。 $\frac{n}{2}$ $n^{1+\epsilon}$ $\epsilon > 0$

如果矩阵是刚性的，则最小的直线程序计算（是大小为的向量）要么是超线性大小，要么具有超对数深度。 $n \times n$ $A$ $Ax$ $x$ $n$

与上述说法相反吗？

换句话说，在TCS中是否有用于平凡的非平凡且非显而易见的低刚度矩阵的用途？

对于秩较低的矩阵，是否有刚性的概念（例如代表常数）？ $\frac{n}{c}$ $c$

cc.complexity-theory

— T ...
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+1，很高兴在这里看到关于刚性的问题，是高级话题，但不清楚。如果最小的直线程序计算

是超线性大小或超对数深度，则语句的相反情况将类似于

矩阵是刚性的。对？但这似乎与关于非平凡/非显而易见的低刚度矩阵的最后一个问题有所不同。似乎大多数矩阵的低刚性或高刚性都不是那么琐碎或显而易见的...有许多有用的低刚性矩阵...没有构建高刚性的非随机矩阵！

A x

$A x$

n \times n

$n \times n$

— vzn

A

$A$

A = B + C

$A=B+C$

B

$B$

C

$C$

B

$B$

C

$C$

A

$A$

也许首先要问一下刚性显然不是很低的矩阵的例子

— Sasho Nikolov

@vzn另一种相反的说法是“低刚度矩阵是否具有线性小电路”。您的答案完全相反（不是说那种刚性较低的应用->效率更高），所以-1

— Sasho Nikolov

@MCH好点。有什么比琐碎的更好？您提出一个有趣的观点，我将稍微改变这个问题。

— T ....

-3

缺少进一步澄清问题的机会，请尝试/略过答案。矩阵刚度与TCS /复杂度理论中的基本问题有着深厚的联系，包括电路下限[1]，以及复杂度类别分离，编码理论[2]以及其他领域。[5]是一个不错的幻灯片调查。

关于矩阵刚度的术语“低”和“高”被非正式地使用，而不是在精确定义的技术意义上使用。[尽管弗里德曼确实定义了“强”的刚性。[6]众所周知，随机矩阵具有很高的刚度，但是从根本上说，它在该领域已有3.5年之久的开放问题，可以明确构造任何具有“非常高”刚度的矩阵。

该问题不会进一步定义/阐明主观术语“非平凡的”或“非显而易见的”，并且会在其中获得一些自由。

在这一领域，有一系列研究着眼于Hadamard矩阵的刚度，这些矩阵在编码理论及其他方面具有多种用途/应用。

可以说，可以证明的高刚性结果将超过至少导致“复杂性理论中新的非平凡推论”的门槛，但这在Hadamard矩阵上最著名的界限是不够的。[3] 但是，这也不能最终证明它们具有有限的“低”刚性。它与Lokam考虑的范德蒙德矩阵 [在编码理论中的应用] 基本相同。[4]

因此，可以概括地说，已经在包括Hadamard / Vandermonde矩阵在内的某些矩阵上证明了“弱的较低的刚性边界”。

该地区似乎也没有任何公开的数值实验，估计或算法。

[6] J. Friedman。关于矩阵刚度的注释。Combinatorica，13（2）; 235-239，1993

— z
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