见证数学软件

与许多人一样，我是Mathematica和Maple等数学软件的热衷用户。但是，对于这样的软件在没有警告的情况下给您错误答案的许多情况，我感到越来越沮丧。在执行许多其他示例中的从简单总和到优化的各种操作时，可能会发生这种情况。

我一直在想如何解决这个严重的问题。所需要的是允许用户验证给出的答案的正确性的某种方式，以使他们对被告知的内容具有一定的信心。如果您想从数学同事那里获得解决方案，她/他可能会坐下来向您展示他们的工作。但是，这在大多数情况下对于计算机而言是不可行的。相反，计算机能否为您提供一个简单且易于检查的见证人，以证明他们答案的正确性？检查可能必须由计算机完成，但是希望检查检查算法比首先检查产生证人的检查算法容易得多。什么时候可行，如何将其正式化？

总而言之，我的问题如下。

至少在理论上，数学软件是否可以提供简短的可检验证据以及您所要求的答案？

我们可以立即执行此操作的一个简单案例是将整数当然分解或分解为许多经典的NP完全问题（例如哈密顿回路等）。

1. “证人”或“可检查证明”的概念并不是全新的：如评论中所述，寻找“证书”的概念。我想到了三个例子，还有更多（在评论中和其他地方）：

   • 库特·梅尔霍恩（Kurt Mehlhorn）在1999年描述了计算几何算法中的一个类似问题（例如，坐标中的微小错误可能会导致某些算法的结果产生较大错误），并通过坚持要求每种算法都产生一个“证书”，在Leda库中以类似的方式解决。除了答案本身之外。

   • Demaine，Lopez-Ortiz和Munro在2000年使用证书的概念（它们称为“证明”）来显示有序集的并集和交集（和差异，但这一点微不足道）的自适应下界。不要排除他们的工作，因为他们没有使用证书来防止计算错误：他们表明，即使在最坏的情况下证书的大小可以是线性的，它也通常较短，因此可以“检查”在次线性时间内（以排序数组或B树的形式随机访问输入），尤其是时间少于计算此类证书所需的时间。

   • 自从看到Ian Munro在Alenex 2001上介绍了证书的实现以来，我一直在使用证书的概念，尤其是对于排列（对于无耻插件的道歉，即将到来），证书在最佳情况下会更短比最坏情况或平均情况下的情况要好，这会产生用于排列的压缩数据结构。同样，检查证书（即订单）最多需要线性时间，而不是计算（即排序）时间。

2. 这个概念并不总是对错误检查有用：存在一些问题，即检查证书需要花费与生成证书（或仅生成结果）一样多的时间。我想到了两个例子，一个琐碎而又一个复杂，布鲁姆和坎南（在评论中提到）给了其他例子。

   • $n$$n$
   • 如果按随机顺序给出点，则二维和凸面凸包的证书将花费与比较相比要编码的位数，从而计算出[FOCS 2009]（其他无耻塞子）。

Leda库（我知道）是使确定性证书生成算法成为实践中最普遍的工作（我知道）。我看到Blum和Kannan的论文是使它成为理论上的规范的最大努力，但它们确实显示了这种方法的局限性。

希望能帮助到你...