在色数和矢量色数之间有间隙的小图？

我正在寻找一个小图其矢量色数比色数，更小的χ v（ģ ）< χ （G ^ ）。$G$$\chi_v(G)<\chi(G)$

（具有向量色数q是否有一个赋值X ：V → [R d，其中直观地与邻近的顶点相关联的矢量相距很远的要求是。⟨ X （v ），X （瓦特）⟩ ≤ - 1 /（q − 1 ）。例如，对于q = 3，三角形的顶点就足够了。$G$$q$$x\colon V \rightarrow \mathbf R^d$$\langle x(v), x(w)\rangle \leq -1/(q-1)$$q=3$

的曲线图的矢量色数不大于色数较大：。例子是已知的与图的χ v（g ^ ）= 3 χ （G ^ ）= Ñ δ。（由Karger，Motwani，Sudan撰写的原始论文[JACM，45：246-265]（手稿）提出了广义的Kneser图，最近的论文使用了基于随机单位向量的构造。）$\chi_v(G)\leq \chi(G)$$\chi_v(G)=3$ $\chi(G)=n^\delta$

我认为有示例图与χ v（ķ ）= 4和χ （ķ ）= 8（基于计算机计算）。此图有20个顶点和90个边。$K$$\chi_v(K)=4$$\chi(K)=8$

有没有更小的例子？如果存在这样的野兽，诱人的途径是提供Chvatal或Grötzsch图的具体向量3色。

（不需要是一个整数，但它会是不错的更新：由于指出以下时，非整的情况下确实容易感谢。）$\chi_v$

更新：格罗茨基和查瓦尔

我无法抗拒考虑对Chvátal和Grötzsch图进行矢量三色处理。

Grötsch图可以是矢量3色，如下所示：将5度节点放在北极上。5度4节点均匀地放置在与北约77度的同一纬度上：想象一下在北半球绘出的五角星。其余5个节点（3级）最终到达南半球，与北约135度。的经度与其他5个经度相同。（我将在有图纸时上传图形，但是在TikZ中绘制测地线比我想象的要难。）

根据SDP求解器，Chvátal也接受矢量3色，但是输出只是一堆5维矢量，我很难解释。

（第三次尝试失败：受Yury的构造启发，采用5个循环并在所有其他顶点附近添加一个顶点。该图的色数为4。但是根据我的求解器，它不是矢量3色的。）

$\chi_v(G)$$G=C_5$

$$\chi_v(C_5) = \sqrt{5} < 3 = \chi(C_5) . \qquad\text{[Lovász]}$$

$\chi_v(G)$$G_1$$C_5^{(1)}$$C_5^{(2)}$$C_5^{(1)}$$C_5^{(2)}$$G_2=K_5$$G$$G_1$$G_2$

$$\begin{align*} \chi(G) &= \max(\chi(G_1), \chi(G_2)) = \chi(G_1) = 6.\\ \chi_v(G) &= \max(\chi_v(G_1), \chi_v(G_2)) = \max(2\cdot \sqrt{5}, 5) = 5. \end{align*}$$

在这里，它是在单位球体上的Grötzsch图的嵌入： 这以明显的方式对应于矢量着色。例如，在北极的顶点用矢量（0,0,1）着色。

Grötsch图具有3种类型的节点。单度5个节点（在北）。五个度数为4的节点（在北半球，与N等距，您可以算出其中的3个）。五个3度结点（在南半球，与N等距，您可以算出3个）。

N以绿色边缘连接到其在​​南半球的5个邻居。（请注意，绿色边缘看起来像是入射在北半球的4度顶点上，但这是嵌入的人工产物。）

从顶部看，您可以得出由度4节点描述的五角星形，类似于Lovasz 在平面中嵌入的情况：$C_5$

最后，从南极上方看：

如果相信我的计算，所有相邻顶点彼此之间的夹角都超过120度，因此这构成了有效的矢量3色。Grötzsch图是4色的。11个顶点，20个边。我对这个示例特别满意，因为矢量着色是3维的，您可以直观地看到它。（并绘制随机超平面，以解释KMS图形着色算法。）