为什么对数秩猜想使用会超过实数？

在通信复杂性中，对数秩推测表明：

C C （ 中号 ） = （ 日志 [R ķ （ 中号 ） ）^{Ø （ 1个 ）}

$cc(M) = (\log rk(M))^{O(1)}$

其中 $cc(M)$ 是的通信复杂 $M(x,y)$ 和 $rk(M)$ 是的等级 $M$ 在实数（作为基体）。

但是，当您仅使用等级方法来降低下限时， $cc(M)$ 您可以在方便的任何字段上使用 $rk$ 。为什么对数秩猜测限制为rk超过实数？是否可以在非零特征的场上为求解猜想 $rk$ ？如果没有，是不是感兴趣或即将有一些特别的东西 $rk$ 在 $\mathbb{R}$ ？

— Artem Kaznatcheev
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顺便说一句，我相信您应该将限制为二进制，否则您可以组成一些琐碎的反例。

M

$M$

— Sasho Nikolov

@SashoNikolov如果不为那么平凡的反例是什么意思（我相信您的意思是超过实数）？

M

$M$

0 / 1

$0/1$

— T ....

例如，问题“猜我的号码”，即爱丽丝在

有一个数字，而鲍勃必须输出它。很容易看出通信复杂度为

但矩阵的秩为

。

{1, \dots, N}

$\{1, \ldots, N\}$

\log N

$\log N$

1

$1$

— Sasho Nikolov

@SashoNikolov您能准确定义我的数字吗？我无法形象化特征矩阵。爱丽丝（Alice）有

，鲍勃（Bob）有

，那么从中定义秩

的函数

是什么？

x

$x$

y

$y$

f (x, y)

$f(x,y)$

M

$M$

1

$1$

— T ....

函数为

，其中

和

是

位向量。如果通信复杂度的定义要求

的值完全由协议记录决定（这是Kushilevitz-Nisan中的定义），那么显然复杂度为

。

f (x, y) = x

$f(x, y) = x$

x

$x$

y

$y$

n

$n$

f

$f$

n

$n$

— Sasho Nikolov

猜想失败了。看看，和。通信的复杂度为，但是根据内部乘积的线性关系，在的等级为。 $\mathbb{F}_2$ $M(x, y) = \langle x, y \rangle \bmod 2$ $x, y \in \{0, 1\}^n$ $\Omega(n)$ $M$ $\mathbb{F}_2$ $n$

— 萨肖·尼科洛夫（Sasho Nikolov）
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