采样（近似）布尔函数的傅里叶变换的复杂性

量子计算机可以做的一件事（甚至可能仅使用BPP +对数深度量子电路）是对P中布尔值函数的傅里叶变换进行近似采样。$\pm 1$

在这里和下面，当我谈论采样傅立叶变换时，我的意思是根据选择x 。（如有必要，请进行标准化）。$|\hat f(x)|^2$

我们能否描述P的近似采样布尔函数的复杂度类，我们可以称之为P-FOURIER SAMPLING？这堂课有没有完整的问题？

给定X类布尔函数，可以说关于计算复杂度，我们可以将其称为SAMPLING-X，它是对X中函数的傅立叶变换进行近似采样的方法。（我想如果X是BQP，则X-SAMPLING为仍然在量子计算机的能力之内。）

在S中有SAMPLING-X的X的例子是什么？有没有有趣的例子，其中SAMPLING-X是NP硬的？

此问题有多种变体也可能很有趣。在傅立叶方面，我们可以谈论的不是近似样本，而是近似抽样能够（概率地）实现的决策问题。在原始方面，我们可以从概率分布的类X开始，并询问近似采样X中的分布D和近似采样（归一化）傅立叶变换的能力之间的关系是什么。

简而言之，关于此问题的已知信息。

更新：马丁·施瓦兹（Martin Schwarz）指出，如果所有傅立叶系数本身都只集中在多项式条目上，那么在BPP中就有可能近似这些大系数（从而也近似于样本）。这可以追溯到Goldreich-Levin，和库什列维兹-曼苏尔。是否有有趣的函数类，其中有一个概率多项式算法可以对傅里叶侧进行近似采样，其中傅里叶系数的分布比多项式系数大？

稍后添加：让我提及一些具体问题。

1）在P中近似采样布尔函数的傅立叶变换有多困难。

a）斯科特·亚伦森（Scott Aaronson）在下面的评论中提到的一个问题是要表明这不在BPP中。或更弱一点的是，如果此任务在BPP中进行，则会发生崩溃。（苏格兰人猜想就是这种情况。）

b）另一个问题是表明，就某些基于量子的复杂性类别而言，这项任务很难。例如，为了表明您可以执行此任务，您可以借助对数深度量子计算机或类似的工具解决BPP中的决策问题。

2）什么是布尔函数类，以便大约可以对P的Fourler变换进行采样在P中。我们知道的是，当Fourier系数集中于多项式多项式系数时，就是这种情况，但这似乎非常局限。

3）在PH中，X机可以近似采样X机可以计算的每个函数的傅立叶变换的复杂度等级X。

4）我对采样交叉事件的傅里叶变换以在n x n的六边形网格上进行渗滤的问题特别感兴趣。

$\hat{f}(x)$$O(poly(n))$$\Omega(1/poly(n))$$\sf{BPP}$$\mathbb{Z}_2$

$\Omega(2^{n/2})$