测试阳性而不是相等

爱丽丝（Alice）和鲍勃（Bob）有n位字符串，希望在进行少量交流时弄清楚它们是否相等。标准的随机解决方案是将n位字符串视为次数为的多项式，然后从大小大于的字段中对一些随机选择的元素求出多项式。这需要通信。 $n$ $n$ $O(\log |F|)$

假设相反，我们对字符串固定了字典顺序，而是想要确定哪个字符串“更大”，这等效于找到字符串不同的最左边的位。

是否有类似的随机协议或已知的下限？这似乎与测试多项式的正性有关。

ps虽然字典顺序似乎是最明显的，但我对其他顺序还是满意的：出于我感兴趣的目的，我们需要的只是某种顺序。

communication-complexity property-testing

— 苏雷什·文卡特（Suresh Venkat）
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我认为标准的随机解决方案是选择位的随机线性组合，然后仅发送生成的奇偶校验，这仅需要

通信？

O (1)

$O(1)$

— 约书亚·格罗夫

@JoshuaGrochow我认为这取决于随机性的性质-公共还是私人。您提到的协议使用公共随机性。

— Sasho Nikolov

为了进行比较，这也许是值得一提的是，确定性的复杂性是

，所以琐碎协议是最优的。这在确定性/精确解决方案与随机解决方案之间提供了一个很好的指数差距，表明（至少在通信复杂性方面）随机性确实可以提供帮助。

n + 1

$n+1$

— 安德拉斯·萨拉蒙

嗯...是的

$\:$ 永远不会给出错误答案的算法需要多少通信，并且对于所有输入对，以最大1/2的概率将MAYBE提供给该输入对？

也许值得一提的是，尤其是

轮通信复杂度大于

，即

时是线性的，请参见arxiv.org/abs/cs/0309033。这是一篇不错的论文：）

k

$k$

Ω (n^{1 / k} k^{- 2})

$\Omega(n^{1/k}k^{-2})$

k = 1

$k=1$

— 马克·伯里

Answers:

这被称为通信复杂度大于问题。存在具有通信复杂度的算法 Nisan-Kushilevitz书中的练习3.18）。 $O(\log n)$

编辑：该算法是由于尼桑（页10）：http ://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.57.6891&rep=rep1&type= pdf

它使用@Sasho Nikolov在下面建议的方法---使用带有恒定错误的相等性测试运行二进制搜索以进行比较。可以使用Feige，Peleg，Raghavan和Upfal的“嘈杂的二进制搜索算法”通过查询来完成：http ://cs.brown.edu/~eli/papers/SICOMP23FRPU.pdf $O(\log n)$

要获得（非明确的）私有随机协议，可以应用Newman的结果：http : //pdf.aminer.org/000/933/113/private_vs_common_random_bits_in_communication_complexity.pdf

— 格里高利·雅罗斯拉夫采夫（Grigory Yaroslavtsev）
source

使用polylog通信的一个简单解决方案是使用相等性对字符串不同的第一位进行二进制搜索。的

\log n

$\log n$ 解决方案是使用公共随机性：再次使用均等作为oracle，但以恒定的错误概率执行每个均等测试，以便每个均等调用使用

O (1)

$O(1)$ 位; 现在简单的二进制搜索已无法满足您的需要，您需要“嘈杂的二进制搜索”，但是有多种方法可以解决日志复杂性问题

— Sasho Nikolov

不确定“嘈杂的二进制搜索”是什么，但是您可以执行

O (\log n \log \log n)

$O(\log n \log \log n)$ 在公共随机性模型中，通过使用具有错误概率的相等性检验进行二分搜索

O (1 / \log n)

$O(1 / \log n)$ ，这需要

O (\log \log n)

$O(\log \log n)$ 每次测试的通信量，并且通过联合约束获得总体上恒定的错误概率。

— Grigory Yaroslavtsev

@SashoNikolov好吧，我猜类似的东西可以用作“嘈杂的二进制搜索”，它可以容忍一定比例的错误，以便我们可以在相等性测试中使用恒定的错误概率：dl.acm.org/citation.cfm？ id = 167129

— Grigory Yaroslavtsev

真正。我的意思是二进制搜索，其中每个比较都能以较小的恒定概率给出错误的结果。我认为本文提供了所需的结果，例如：dl.acm.org/citation.cfm?id=100230

— Sasho Nikolov

将讨论移至答案。

— Grigory Yaroslavtsev

请参见加法的通信复杂性。

正如Grigory所提到的，有一个通讯协议 $O(\log n)$ 。这是由于尼桑和萨夫拉。他们的协议使用公共随机性或不明确。上面的论文给出了一种使用私有随机性并且是显式的（通过相对标准的伪随机发生器的使用）；它还讨论了公共随机模型中匹配下限的问题。

— 马努
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