维基百科对几何复杂度理论的解释

有人可以提供非专家可以理解的Mulmuley GCT方法的简明解释吗？适用于该主题的Wikipedia页面的说明（当前为stub）。

动机：我正在与一位弦理论研究人员的我的一个朋友“共同阅读” Scott Aaronson自Democritus以来的《量子计算》一书。在这本书的序言中，亚伦森称GCT为“计算机科学的弦论”。作为弦理论家，我的朋友对此主张感到兴奋，并问我什么是GCT。那时，我可耻地意识到我没有针对他的问题的维基百科就绪答案。

cc.complexity-theory gct

— 亚历山德罗·科森蒂诺
source

也许答案是做出一个:)。或至少启动它。

— Suresh Venkat

制作存根-您不必自己编写整个内容：）。

— Suresh Venkat

@Kaveh：这两个字段之间当然没有直接关系！实际上，斯科特甚至解释了GCT是TCS的弦论的含义（他只是关于理论物理学和计算机科学领域的人们如何分别理解这些方法的元论据-当然是针对完全不同的问题！）。我报道这个故事只是为了解释什么触发了我的问题，我并不是说这两个领域是相关的。

— 亚历山德罗·科森蒂诺

相关问题：Mulmuley的GCT计划

— Kaveh），

另请参见使用Mulmuley-Sohoni GCT方法显示已知的复杂度分离有多困难？而如何进行Mulmuley-Sohoni几何的方法来生产下界避免产生自然的证明（在Razborov-Rudich意义上的）？证明和几何复杂性的

— 理论

Answers:

我不确定是什么水平适合维基百科文章（不同的文章似乎针对不同的专业知识水平）或您要寻找的是什么水平。因此，请尝试一下，但我欢迎您提供反馈。

几何复杂度理论建议通过利用复杂度的内在对称性和所研究函数的任何其他对称性来研究计算函数（例如多项式）的计算复杂性。

与许多以前的方法一样，最终目标是通过证明存在一个以函数作为输入的多项式来分离两个复杂度类，根据它们的系数向量），使得每个函数上消失，而某些函数上不消失。 $\mathcal{C}_{easy}, \mathcal{C}_{hard}$ $p$ $f$ $p$ $f \in \mathcal{C}_{easy}$ $g_{hard} \in \mathcal{C}_{hard}$

第一个关键思想（参见[GCT1，GCT2]）是使用对称性来组织函数本身，而不是组织这些函数的（代数几何）性质，如上面的多项式所捕获的。这使得可以使用表示理论来尝试找到这样的。关于表示理论和代数几何的类似想法以前曾在代数几何中使用过，但据我所知从未如此。 $p$ $p$

第二个关键思想（参见[GCT6]）是找到用于产生表示理论问题的组合（和多项式时间）算法，然后对这些算法进行逆向工程以表明存在这样的。可以本着使用线性编程（一种算法）来证明某些纯粹组合语句的精神来考虑。 $p$

的确，[GCT6]建议将上述表示理论问题简化为整数编程问题，然后表明所得的IP通过其LP松弛得以解决，最后给出了所得LP的组合算法。[GCT6]中的猜想本身是由对Littlewood-Richardson系数的已知结果进行逆向工程得出的，这是表示论中的一个类似但较容易的问题。在LR系数的情况下，Littlewood-Richardson组合规则最先出现。后来，Berenstein和Zelevinsky [BZ]，Knutson和Tao [KT]（友好的概述请参见[KT2]）给出了LR系数的IP。Knutson和Tao也证明了饱和猜想，这暗示IP通过其LP松弛来解决（参见[GCT3，BI]）。

[GCT5]的结果表明，对Noether的归一化引理进行明确的去随机化本质上等同于多项式身份测试的黑盒去随机化的复杂性理论中臭名昭著的开放问题。大致适合大型程序的原因是，可以找到函数的显式基础，而函数不会在上消失（在这种情况下，行列式是完整的类）用来推导表示理论中所需问题的组合规则，就像其他代数几何中的情况一样。此处的中间步骤是为（不）消失于的归一化的找到基础。 $p$ $\mathcal{C}_{easy}$ $p$ $\mathcal{C}_{easy}$ ，它通过构造一个更好的代数形式-换句话说，是将Noether的归一化引理对DET进行非随机化。

复杂性和功能对称的例子

例如，如果我们置换变量则对于大多数自然复杂度概念函数的复杂度不变通过一些排列。因此，排列本身就是复杂性的对称。对于某些复杂性的概念（例如在代数电路复杂性中），变量的所有可逆线性变化都是对称的。 $f(x_1, \dotsc, x_n)$ $f(x_{\pi(1)}, \dotsc, x_{\pi(n)})$ $\pi$

各个功能可能具有其他对称性。例如，行列式对于所有矩阵具有对称使得。（从我对此的了解中，我发现这类似于物理学中自发的对称性破坏现象。） $\det(X)$ $\det(AXB) = \det(X^{T}) = \det(X)$ $A,B$ $\det(AB) = 1$

最近的一些进展 [本节肯定是不完整的，并且技术性更高，但是完整的说明将需要数十页。...我只是想强调一些最近的进展]

Burgisser和Ikenmeyer [BI2] 在遵循GCT程序的情况下，对矩阵乘法显示了下界，甚至使用零和非零多重表示。Landsberg和Ottaviani [LO] 使用表示理论来组织代数性质，但未使用表示多重性或组合规则，给出了矩阵乘法边界等级上最著名的下界。 $\frac{3}{2}n^2$ $2n^2$

在Littlewood-Richardson系数之后的下一个问题是Kronecker系数。这些问题既出现在一系列可能最终导致GCT出现的表示理论问题的问题中，又更直接地出现在GCT矩阵乘法和永久性与行列式方法的多重性界限上。寻找克罗内克系数的组合规则是表示论中一个长期存在的开放问题。Blasiak [B]最近针对具有一个钩形的Kronecker系数给出了这样的组合规则。

Kumar [K]表明，假设列拉丁方猜想（参见Huang-Rota和Alon-Tarsi），则某些表示形式以非零多重性出现在行列式的坐标环中（参见Huang-Rota和Alon-Tarsi；该猜想也可能并非偶然地出现在[BI2]中） ]）。因此，尽管在多重性之间存在更普遍的不等式，但仍然有可能使用它们来将永久性与行列式从确定性中分离出来，尽管仍然可以使用它们来将永久性与行列式分离。

参考文献 [B] J. Blasiak。一种钩形的Kronecker系数。arXiv：1209.2018，2012。

[BI] P. Burgisser和C. Ikenmeyer。Littlewood-Richardson系数正值的最大流算法。FPSAC 2009。

[BI2] P. Burgisser和C. Ikenmeyer。通过几何复杂度理论显式下界。arXiv：1210.8368，2012。

[BZ] AD Berenstein和AV Zelevinsky。和伴随表示的外部代数的谱的三重多重性。 $\mathfrak{sl}(r+1)$ J.代数组合 1（1992），没有。1，7-22。

[GCT1] KD Mulmuley和M. Sohoni。几何复杂性理论I：P对NP和相关问题的一种方法。SIAM J.计算。31（2），496-526，2001。

[GCT2] KD Mulmuley和M. Sohoni。几何复杂性理论II：针对类别变体中嵌入的显式障碍。SIAM J. Comput。，38（3），1175-1206，2008年。

[GCT3] KD Mulmuley，H。Narayanan和M. Sohoni。几何复杂度理论III：决定Littlewood-Richardson系数的不消失。J.代数组合 36（2012），No. 1，103–110。

[GCT5] KD Mulmuley。几何复杂度理论V：多项式身份测试的黑盒去随机化与Noether归一化引理的去随机化之间的等效性。FOCS 2012，也可从以下网址获取：arXiv：1209.5993。

[GCT6] KD Mulmuley。几何复杂度理论VI：通过正性翻转。，芝加哥大学计算机科学系技术报告，2011年1月。

[K]库马尔。行列式轨道封闭所支持的表示形式的研究。arXiv：1109.5996，2011。

[LO] JM Landsberg和G. Ottaviani。矩阵乘法边界等级的新下限。arXiv：1112.6007，2011年。

[KT] A. Knutson和T. Tao。张量积的蜂窝模型。I.饱和猜想的证明。 $\text{GL}_n(\mathbb{C})$ J.阿米尔。数学。Soc。12（1999），没有。4，1055–1090。

[KT2] A. Knutson和T. Tao。蜂窝和Hermitian矩阵的和。通知阿米尔。数学。Soc。48（2001），no。2，175–186。

— 约书亚·格罗夫（Joshua Grochow）
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关于适合Wikipedia的级别的开头句子：简短的答案是尽可能简单，但没有那么简单。尤其是Wikipedia文章的开头应针对尽可能广泛的读者群撰写（不散列主题）；以后的零件可以变得更有技术性。有关更多详细信息，请参见Wikipedia指南en.wikipedia.org/wiki/WP:TECHNICAL（也许应该说，并非所有文章都成功实现了这些目标。）

— David Eppstein，

一个好主意可能是针对与en.wikipedia.org/wiki/Representation_theory相似的水平，该水平起初有些许缓慢，但随后却变得更加技术性。

— Mugizi Rwebangira

我一直在寻找CS的非专家可以理解的解释，他们仍然是其他领域（尤其是物理学）的科学家。您的答案完全可以满足此要求。谢谢！

— 亚历山德罗·科森蒂诺

为什么不将其添加到Wikipedia页面？

— saadtaame

我最近对Mathoverflow的一个相关问题给出了答案https://mathoverflow.net/questions/277408/what-are-the-current-breakthroughs-of-geometric-complexity-theory

由于该站点可能是一个更好的站点，因此让我在下面简单重复一下该答案。提到Joseph或Timothy的是关于该MO问题的其他帖子。

令为泛型矩阵，而为齐次多项式：行列式。令取子矩阵的永久性，然后乘以一个人喜欢的线性形式，以便生成另一个次齐次多项式（也可以使用条目代替）。这种修改称为padding。然后定义数字 $X=(X_{ij})_{1\le i,j\le n}$ $n\times n$ $F_1(X)={\rm det}(X)$ $n$

F_{2} (X) = (X_{n n})^{n - m} \times p e r m [(X_{i j})_{1 \leq i, j \leq m}]

$F_2(X)=(X_{nn})^{n-m}\times {\rm perm}\left[(X_{ij})_{1\le i,j\le m}\right]$

m \times m

$m\times m$

n

$n$

X_{11}

$X_{11}$

X_{n n}

$X_{nn}$

c (m) = min {n | n \geq m a n d \bar{G \cdot F_{2}} \subset \bar{G \cdot F_{1}}}

$c(m)=\min\{\ n\ |\ n\ge m\ \ {\rm and}\ \ \overline{G\cdot F_2}\subset \overline{G\cdot F_1}\ \}$ 其中是作用于维度的仿射空间，其中所在，是Zariski轨道闭合。该区域或Valiant假设（的复杂版本）中的一个大猜想是增长速度快于任何多项式的增长速度。

G

$G$

G L (n^{2})

$GL(n^2)$

n^{2}

$n^2$

X

$X$

\bar{G \cdot F_{i}}

$\overline{G\cdot F_i}$

P \neq N P

${\rm P}\neq{\rm NP}$

c (m)

$c(m)$

m

$m$

现在，如果，那么一个人有一个等距映射这些轨道闭合的坐标环的部分之间的。因此，游戏是通过证明多重障碍（即多重性满足的不可约表示的存在，试图证明对于相对于而言，这不会发生 $\overline{G\cdot F_2}\subset \overline{G\cdot F_1}$ $G$

C [\bar{G \cdot F_{1}}]_{d} ⟶ C [\bar{G \cdot F_{2}}]_{d}

$\mathbb{C}[\overline{G\cdot F_1}]_d\longrightarrow \mathbb{C}[\overline{G\cdot F_2}]_d$

d

$d$

n

$n$

m

$m$

λ

$\lambda$

{m u l t}_{λ} (C [\bar{G \cdot F_{1}}]_{d}) < {m u l t}_{λ} (C [\bar{G \cdot F_{2}}]_{d})

${\rm mult}_{\lambda}(\mathbb{C}[\overline{G\cdot F_1}]_d)<{\rm mult}_{\lambda}(\mathbb{C}[\overline{G\cdot F_2}]_d)$ 或达到理想水平

{m u l t}_{λ} (I [\bar{G \cdot F_{1}}]_{d}) > {m u l t}_{λ} (I [\bar{G \cdot F_{2}}]_{d}) .

${\rm mult}_{\lambda}(I[\overline{G\cdot F_1}]_d)>{\rm mult}_{\lambda}(I[\overline{G\cdot F_2}]_d)\ .$

乐观的方法是尝试显示存在障碍物，即，使得和。蒂莫西（Timothy）提到的Bürgisser，Ikenmeyer和Panova的工作都弥合了这种希望。但是，多重障碍的可能性仍然存在。 $\lambda$ ${\rm mult}_{\lambda}(\mathbb{C}[\overline{G\cdot F_1}]_d)=0$ ${\rm mult}_{\lambda}(\mathbb{C}[\overline{G\cdot F_2}]_d)>0$

我认为Mulmuley的方法是尝试利用表示理论中的所有工具来计算这些多重性障碍，以证明这些多重性障碍的存在。就我个人而言，我从来都不喜欢这种方法。在深入研究19世纪不变性理论之后，对我而言，使用那个时代的显式工具解决轨道分离问题似乎更为自然。Gorchow的这篇文章似乎也指向了相似的方向（我怀疑约瑟夫提到的第三篇文章的观点与此相同）。用古典语言（请参见Turnbull或Littlewood），必须明确构造一个在上消失的混合伴随 $F_1$ 但不在。为了建立超多项式增长性质，还必须无限次地（以）执行此操作。这样的伴随性与从您最喜欢的模型的特定等价映射图相同，即您喜欢的模型中不可约表示到变量的多项式代数（Grochow称之为分离模块）。19世纪的不变理论家有两种生成此类对象的方法：消除理论和图解代数。 $F_2$ $m$ $G$ $\lambda$ $n^2$ $X$

一个非常简单的例子，其中和在的作用下为二元四次形式（请参见此MO问题），说和分离的伴随项（实际上是协变）是通用二进制四次对于它消失（相同地在），但对于它不消失 $F_1$ $F_2$ $G=SL(2)$

F_{1} (x, y) = x^{4} + 8 x^{3} y + 24 x^{2} y^{2} + 32 x y^{3} + 16 y^{4}

$F_1(x,y)=x^4+8x^3y+24x^2y^2+32xy^3+16y^4$

F_{2} (x, y) = 16 x^{4} - 24 x^{3} y + 12 x^{2} y^{2} - 2 x y^{3} .

$F_2(x,y)=16x^4-24x^3y+12x^2y^2-2xy^3\ .$

F

$F$

H (F) (x, y) = \frac{\partial^{2} F}{\partial x^{2}} \frac{\partial^{2} F}{\partial y^{2}} - {(\frac{\partial^{2} F}{\partial x \partial y})}^{2} .

$H(F)(x,y)=\frac{\partial^2 F}{\partial x^2}\frac{\partial^2 F}{\partial y^2}-\left( \frac{\partial^2 F}{\partial x\partial y} \right)^2\ .$

x, y

$x,y$

F = F_{1}

$F=F_1$

F = F_{2}

$F=F_2$ 。在这种情况下，Hessian可以看作是等价映射，它是由二元四次方仿射空间的第二对称幂（具有基本二维表示形式）的不可约简给出的。

因此，可能的GCT超乐观“计划”包括以下步骤序列。

1）找到一种产生大量伴随物的方法。

2）找出消失在上的一些明确候选者，并证明该性质。 $F_1$

3）证明它们在上不消失。 $F_2$

步骤1）原则上是解决了由第一基本定理的，但有一个不匹配：行列式的不变量理论的自然对象（作用于行和列），而不是。可以通过用的形式表达不变性理论的基本构造块，来尝试解决失配问题（有关类似的归约问题，请参见MO问题）从到）。 $GL(n^2)$ $GL(n)\times GL(n)$ $GL(n^2)$ $GL(n^2)$ $GL(n)\times GL(n)$ $SL(n(n+1)/2)$ $SL(n)$

在我看来，为第2步找到合适的候选人似乎很困难。事先知道某些多重性非零肯定会有所帮助。虽然，可能会拖延并推迟伴随步骤3）消失的不完全相同的证明，无论如何，该证明应显示出更多的证据。如果有人拥有这样的正确候选人，那么通过争论就可以很容易地表明他们在消失了，人们可以称其为保利的排除原则（将对称与反对称相结合），高色数性质或只是“缺乏空间”。 ${\rm mult}_{\lambda}(I[\overline{G\cdot F_1}]_d)$ $F_1$

但是，我认为最困难的部分是步骤3）。例如，在我与Ikenmeyer和Royle的论文 “奥塔维亚尼三次三次不变量的16,051个公式”中，猜测是通过计算机搜索完成的，但是有了正确的候选者，上的消失就相对容易解释了（由于图的全局属性而不是一些大集团，因此是色数的一个漂亮示例）。本文中步骤3）的类似物是通过蛮力计算机计算完成的，但我们仍然不知道为什么它是真的。与步骤3相关的范式问题是Alon-Tarsi猜想（请参阅此MO问题和该问题） $F_1$ 太）。我认为，在Valiant猜想之前，需要在这种问题上取得进展（四色定理也属于这种类型，通过考夫曼和巴尔·纳坦的归纳）。

由于问题在于GCT的突破。我认为Landsberg和Ressayre的这篇文章也值得关注，因为它暗示对的确切值的合理猜测是请注意，本文的 Bürgisser和Ikenmeyer给出了关于一个更简单问题的显式“步骤1），2），3）方法的概念证明。最后，有关GCT的更多信息，我强烈推荐Landsberg 撰写的评论 “几何复杂度理论：几何学简介”。 $c(m)$

(\begin{matrix} 2 m \\ m \end{matrix}) - 1 .

$\left(\begin{array}{c}2m\\ m \end{array}\right)-1\ .$

PS：我还要补充一点，我的悲观主义是针对“勇气假说”的，这是该领域的“黎曼假说”。当然，不应该给婴儿洗澡水并贬低GCT，因为到目前为止它还不能证明这一推测。在已经取得进展并且有望取得更大进展的这一领域中，还有许多更平易近人的问题。特别请参阅上述Grochow的文章和Landsberg的评论。

— 阿卜杜勒·马里克·阿卜杜塞兰
source

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GCT是一个用于证明复杂性理论界限的研究程序，由于其繁琐的抽象，因此在某种程度上不符合维基百科风格的摘要/摘要，但是对于TCS人群，可以进行良好的调查。[2] [3] [4] （当然，Wikipedia是Wikipedia条目的最佳选择）。它是由Mulmuley在2000年代初期提出的，它在复杂性理论方面相对较新，并且使用和应用了并非源自TCS /复杂性理论的高级数学（代数几何），因此非常先进。

该方法被某些机构认为是有希望的，但其他机构可能过于复杂，即该方法尚未得到证实，因此是否能克服已知的标准“障碍”存在争议。（从这个意义上说，它确实表现出所谓的库恩式“范式转换”的迹象。）甚至Mulmuley提出，在几十年的进一步发展之后，它实际上可能不会成功（证明主要的复杂性类分离）。这是复杂性理论领域的权威权威Fortnow的怀疑意见：[1]