将日志空间与多项式时间分开

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显然，在确定性对数空间（）中可确定的任何问题最多都在多项式时间（）中运行。和之间有很多复杂性类。示例包括，，，，，。人们普遍认为，。 $L$ $P$ $L$ $P$ $NL$ $LogCFL$ $NC^i$ $SAC^i$ $AC^i$ $SC^i$ $L \neq P$

在我的一篇博客文章中，我提到了两种证明方法（以及相应的猜想）。这两种方法都基于分支程序，并且相隔20年！是否有其他方法和/或猜想来分离 $L \neq P$ $L$ 与 $P$ 分开（或）将和之间的任何中间类别分开。 $L$ $P$

cc.complexity-theory lower-bounds space-bounded

— 湿婆金塔利
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觉得这个问题一个TM运行顺序压缩是相关

— VZN

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电路深度下限（等效地，式尺寸下限）可能是最自然的方法：的super $\log^2(n)$ 深度下界中的问题 $\mathsf P$ 会分离 $\mathsf P$ 从 $\mathsf L$ 和Karchmer-Wigderson通信复杂度技术可以为此自然而然。

— 诺姆
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自然证明障碍在这里不会成为问题吗？我很好奇为什么会这样。

— Suresh Venkat 2010年

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是的，这样的证据肯定看起来必须是“非自然的”，但据我所知，它必须是博客文章中提到的其他方法。

— 诺姆

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[1]证明了mincost-flow实例的下限，其实例的位大小与图的大小相比足够大（但仍是线性的），并且进一步证明了如果对于足够小的输入，可以显示相同的下限比特大小意味着（因此）。从总体上讲，这与Noam的回答相同，因为它是关于证明电路深度的下界（=公式大小的下界），但似乎是与Karchmer-Wigderson游戏截然不同的方向。 $\mathsf{P} \neq \mathsf{NC}$ $\mathsf{P} \neq \mathsf{L}$

更详细地，[1]显示以下内容。使用与本文相同的表示法，让表示最小成本流语言。我们可以将顶点图上的mincost-flow语言表示为，看作是对于的的子集，其中整数由位串编码。令表示中所有向量的集合 $L$ $n$ $L(n)$ $\mathbb{Z}^{k(n)}$ $k(n) = \Theta(n^2)$ $B(a,n)$ $\mathbb{Z}^{k(n)}$ 其中每个整数坐标的位大小最多为。给定一个函数（我们将在后面指定哪种函数），如果的点points ，则说在内将分隔开正是那些 $an$ $f(x_1, \dotsc, x_k)$ $f$ $L(n)$ $B(a,n)$ $L(n) \cap B(a,n)$ 使得。 $\vec{x} \in B(a,n)$ $f(\vec{x}) = 1$

命题[1，命题7.3]如果在被分隔，其中是大小的矩阵，其项是（线性组合，使得，然后。 $L(n)$ $B(a,n)$ $\det(M(\vec{x}))$ $M$ $\leq 2^{n/d}$ $x_1, \dotsc, x_k$ $a < 1/(2d)$ $\mathsf{P} \neq \mathsf{NC}$

这里，位绑定的和大小绑定的关系至关重要。在同一篇论文中，他展示了： $an$ $2^{n/d}$

定理[1，定理7.4]对于所有足够大的位界，前述命题的假设成立。 $a$

上述定理的证明使用了一些沉重的铁锤作为黑匣子，但除此之外还是基本的（请注意：“基本” “ 简单 ”）。也就是说，它使用实半代数变体的连接分量数上的Milnor-Thom边界（Ben-Or使用相同的边界来证明真实计算树模型中元素的唯一性/排序的下界），柯林斯分解（用来证明对），一般位置参数和其他一些想法的有效量词消除。但是，所有这些技术仅取决于所涉及的多项式的阶数，因此不能像上述命题一样用于证明（实际上是[1，Prop。7.5]构造一个多项式 $\neq$ $\mathbb{R}$ $\mathsf{P} \neq \mathsf{NC}$ $g$ of the same degree as $\det$ such that the above proposition fails with $g$ in place of $\det$ ). Analyzing this situation and looking for properties that went beyond degree was one of the inspirations for GCT.

[1] K. Mulmuley. Lower Bounds in a Parallel Model without Bit Operations. SIAM J. Comput., 28(4), 1460–1509, 1999

— Joshua Grochow
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It made my day when my friend James told me that this thread from long ago was rekindled. Thank you for that.

Also, I had an urge to share some interesting references that are relevant to L vs Log(DCFL) vs Log(CFL). Have a great day!

http://link.springer.com/chapter/10.1007%2F978-3-642-14031-0_35#page-1

http://link.springer.com/chapter/10.1007/3-540-10003-2_89?no-access=true

http://link.springer.com/chapter/10.1007%2F978-3-642-00982-2_42#page-1

http://www.researchgate.net/publication/220115950_A_Hardest_Language_Recognized_by_Two-Way_Nondeterministic_Pushdown_Automata

— Michael Wehar
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this new paper was just highlighted by Luca Aceto in his blog as an EATCS best student paper at ICALP 2014 & has a novel way of separating NL/P:

Hardness Results for Intersection Non-Emptiness Wehar

We carefully reexamine a construction of Karakostas, Lipton, and Viglas (2003) to show that the intersection non-emptiness problem for DFA's (deterministic finite automata) characterizes the complexity class NL. In particular, if restricted to a binary work tape alphabet, then there exist constants $c_1$ and $c_2$ such that for every $k$ intersection non-emptiness for $k$ DFA's is solvable in $c_1 k \log(n)$ space, but is not solvable in $c_2 k \log(n)$ space. We optimize the construction to show for an arbitrary number of DFA's intersection non-emptiness is not solvable in $o \left( \frac{n}{\log(n) \log(\log(n))} \right)$ space. Furthermore, if there exists a function $f(k) = o(k)$ such that for every $k$ intersection non-emptiness for $k$ DFA's is solvable in $n^{f(k)}$ time, then P≠NL. If there does not exist a constant $c$ such that for every $k$ intersection non-emptiness for $k$ DFA's is solvable in $n^c$ time, then P does not contain any space complexity class larger than NL.

— vzn
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