对于有趣的NP问题，难以证明二次下界的困难吗？

这是我之前的问题的跟进工作：

我感到困惑的是，我们无法为人们关心的任何有趣的NP问题证明任何二次确定性时间下界，并试图为其设计更好的算法。我们的指数时间假设猜想指出，SAT无法在亚指数确定性时间内求解，但我们甚至无法证明SAT（或任何其他有趣的NP问题）需要二次时间！

我知道有趣是有点主观和模糊的。我没有定义。但是，让我尝试描述我认为是一个有趣的问题：我所谈论的问题是很多人不感兴趣的问题。我不是在谈论主要是为了回答一些理论问题的孤立问题。如果人们没有试图为问题找到更快的算法，那么这表明问题不是那么有趣。如果需要有关有趣问题的具体示例，请考虑Karp 1972年的论文或Garey and Johnson 1979年的问题（大部分）。

对于为什么我们无法证明任何有趣的NP问题没有任何二次确定性时间下界有什么解释吗？

— 匿名
source

因为下界很难？什么样的解释会让您满意的？

— 杰夫·2013年

@Jɛﬀ E那些有意义而有见地的非平凡的解释呢？直觉或结果解释了为什么我们被困在证明下界的地方。因为我们的主张比我们的结果要强得多，所以我相信其他专家已经思考了为什么经过数十年的尝试，我们仍然无法在一个有趣的NP问题上得到二次下界。

— 匿名

这是Lipton博客的解释；诱饵和开关：为什么下界这么难？rjlipton.wordpress.com/2009/02/12/...

— 穆罕默德·Turkistany

@ MohammadAl-Turkistany：我认为，如Lipton博客上的Rudich的见解，可能是一个答案，而不仅仅是一个评论。尤其是与其他论点不同，该论点同样适用于下界和超多项式下界。

n^{2}

$n^2$

— 约书亚·格罗夫

当您限制算法具有很小的空间（例如，polylog）时，或者当您查看单带图灵机（对内存的访问非常受限）时，二次时间下限的问题就很重要。但是，当内存不受限制并且内存访问不受限制时，“真正的”问题是，在任何随机访问计算模型中，对于有趣的NP问题是否存在超线性时间下界。（Grandjean证明了多带Turing机器的一些超线性下界，但它们依赖于一维带的结构。）

— Ryan Williams

Answers:

这是Lipton博客的解释：诱饵和切换：为什么下界这么难？

正如Grochow所观察到的，Rudich的见识同样适用于下界和超多项式下界。 $n^2$

Rudich的见解解释了为什么基于以下方法的任何下界证明都不起作用。

“任何计算计算都必须朝着缓慢发展。每个计算步骤只能使您更接近最终目标，因此计算将需要很多步骤。” $f$ $f$

从根本上讲，没有任何措施可以使鲁迪奇的诱饵和转换技巧幸免于难，并能成功达到更低的极限。

— 穆罕默德·图尔克斯坦尼
source

您可以在Arora-Barak 的自然证据一章中找到“诱饵和转换”参数的另一种视图。他们使用相同的论据来论证“形式复杂性度量”样式的下界论点必须适用于具有高概率的随机函数。但是，如果采取正式的复杂性衡量标准

为随机函数分配高复杂度
不会为简单功能分配高复杂性
可以从函数的真值表轻松计算

那么它可以用来破解伪随机生成器。非正式地，这就是自然证明的障碍。我们认为1.对于许多下界方法来说是非常合理的，没有2.复杂性度量似乎没用，并且3.基于观察到我们已经能够将大多数组合存在证明转化为有效算法，并且基于直觉上固有的非构造性证明是很难设计的。

您可以通过提供非常有效的伪随机生成器来使上述内容更加具体。如果可以在复杂度内计算出一个函数，该复杂度对类函数而言是伪随机，则注定要在内计算得出的量度是针对下界。 $C$ $C'$ $C'$ $C$

— 萨肖·尼科洛夫（Sasho Nikolov）
source