如何在Coq中的两个参数上归纳定义一个函数？

我如何才能说服Coq以下给出的递归函数终止？该函数带有两个归纳参数。从直觉上讲，由于任何一个参数都已分解，因此递归终止。

具体来说，该函数将两棵树作为输入。

Inductive Tree :=
| Tip: Tree
| Bin: Tree -> Tree -> Tree.

在“树”上，我喜欢执行以下归纳样式。

Inductive TreePair :=
| TipTip : TreePair
| TipBin : Tree -> Tree -> TreePair
| BinTip : Tree -> Tree -> TreePair
| BinBin : TreePair -> TreePair -> TreePair.

Fixpoint pair (l r: Tree): TreePair :=
  match l with
    | Tip =>
      match r with
        | Tip => TipTip
        | Bin rl rr => TipBin rl rr
      end
    | Bin ll lr =>
      match r with
        | Tip => BinTip ll lr
        | Bin rl rr => BinBin (pair l rl) (pair lr r)
      end
  end.

接受TreePair的定义，但是函数对的定义会产生错误消息：

Error: Cannot guess decreasing argument of fix.

因此，我对如何说服Coq终止感兴趣。

Coq的定点定义要求归纳调用接收结构上更小的参数。从深处看，一个固定点构造只接受一个参数：对于两个参数，没有内置的递归定义概念。幸运的是，Coq 对结构较小的定义包括高阶类型，它的功能非常强大。

您的两个参数定点定义遵循一个简单的模式：第一个参数变小，或者第一个参数保持不变，第二个参数变小。可以通过简单的修复程序来处理这种相当常见的模式。

Fixpoint pair l := fix pair1 (r : Tree) :=
  match l with
    | Tip => match r with
              | Tip => TipTip
              | Bin rl rr => TipBin rl rr
            end
    | Bin ll lr => match r with
                    | Tip => BinTip ll lr
                    | Bin rl rr => BinBin (pair1 rl) (pair lr r)
                   end
  end.

对于更复杂的情况，或者如果您喜欢这种方式，则可以更接近于数学课程中所讲授的方式使用递归，通过逐步计算和单独的有根据的自变量（通常使用整数度量）构建固定点。您还可以使您的定义看起来更像是一种非全部语言的经典程序，并使用Program白话来单独终止。