Questions tagged «interactive-proofs»

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多项式层次结构的交互式证明
我们知道,如果您有一台PSPACE机器,它的功能足以为任何级别的多项式层次结构提供交互式证明。(如果我没记错的话,你需要的是#P)。但是,假设你想给会员的交互式证明在语言。是不是足以能解决问题Σ 2?是解决问题的Σ 5是否足够?更一般地,如果你能解决Σ ķ或Π ķ问题,什么Σ ℓ是这足以在所有languates的交互证明Σ ℓ?Σ2Σ2\Sigma_2Σ2Σ2\Sigma_2Σ5Σ5\Sigma_5ΣķΣk\Sigma_kΠķΠk\Pi_kΣℓΣℓ\Sigma_\ellΣℓΣℓ\Sigma_\ell 这个问题是由这个cstheory stackexchange问​​题启发的。

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具有不相关半私人硬币的推荐游戏
我一直(现在仍然)对这个问题的答案很感兴趣,因为这是关于游戏复杂性的有趣变化,尚未解决,因此我提供了赏金。我认为最初的问题很可能太难了,所以我发表了三个相关的问题,这些问题也值得悬赏。在赏金到期之前,没有人发布任何答案。后来我能够回答两个相关的问题(问题3和4,在我的原始帖子下面讨论),表明用相关的半私人硬币(定义如下)近似参考游戏的价值是EXPTIME完全的。原始问题仍然没有答案。我也对将PSPACE和EXPTIME之间的相关游戏放入有趣的复杂度类中的任何结果感兴趣。 原始帖子: 这个问题的灵感来自对伊泰的十六进制问题的讨论。推荐游戏是这样的游戏,其中两个计算不受限制的玩家通过可翻转私人硬币的多项式时间验证程序进行通信来玩(因此,回合数和通信量也受到多项式时间的限制)。比赛结束时,裁判在P中运行算法以确定谁获胜。确定谁赢得了这场比赛(甚至是大约)是EXPTIME完成的。如果您有公共硬币和公共通讯,这些游戏都在PSPACE中。(请参见Feige和Killian,“简化游戏”。)我的问题涉及这两个结果之间的界限。 问题:假设您有两个玩多项式长度游戏的计算无界玩家。裁判的角色仅限于在每次移动之前为每个球员提供一定数量的私人掷硬币(与其他球员无关)。玩家的所有举动都是公开的,因此被对手看到-唯一的私人信息是掷硬币。在游戏结束时,将显示所有私人掷硬币情况,而专职裁判使用这些掷硬币情况和玩家的举动来决定谁获胜。 根据参考的游戏结果,近似第一个玩家获胜的概率是在EXPTIME中,而且显然也是PSPACE难题。是哪个(如果有)?关于这个问题有什么了解吗? 请注意,玩家可能必须使用混合策略,因为您可以通过这种方式玩零和矩阵游戏(la von Neumann)。 附加材料: 让我们称此复杂类RGUSP(所有语言如上所述,其可以减少到一个审阅游戏用不相关半私有硬币,使得如果X ∈ 大号,播放器1胜概率≥ 2 / 3,并且如果X ∉ 大号,播放器1胜概率≤ 1 / 3)。我的三个相关问题是:LLLx∈Lx∈Lx \in L≥2/3≥2/3\geq 2/3x∉Lx∉Lx \notin L≤1/3≤1/3\leq 1/3 问题2:RGUSP似乎相当强大。例如,如果我们改变游戏规则,则裁判不发送消息,而是仅观察玩家1和2的公开消息,并从中接收私人消息,则近似此游戏的价值仍然等同于RGUSP。我想证明RGUSP是稳健的,所以我愿意给赏金的人谁找到一个自然复杂的C类,这样PSPACE Ç ⊆ RGUSP,那里既没有安全壳似乎是准确的。⊆⊆\subseteq⊆⊆\subseteq 问题3:我也强烈怀疑RGCSP类(具有相关半私人硬币的推荐游戏)是否已经完成EXPTIME,并且我也愿意将赏金给予证明这一事实的人。在RGCSP中,第一步是裁判为两个参与者提供相关的随机变量(例如,他可能会给第一个参与者一个较大的投影平面上的一个点,第二个参与者为包含该点的线)。此后,对于多项式回合,两个玩家交替发送彼此多尺寸的公共消息。比赛开始后,多时裁判决定谁赢了。估算玩家1的获胜概率有何复杂性? 问题4:最后,我有一个问题可能与密码和概率分布有关:是否可以在不相关的半私有硬币的裁判游戏中向两名玩家进行遗忘转移,是否可以让他们玩相关硬币的任意裁判游戏(或者,是否可以让他们玩游戏,确定赢家是EXPTIME完整的)?

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IP = PSPACE没有相对性的“真正”原因是什么?
IP = PSPACE被列为非相对化结果的典型的例子,以及用于此的证据是,存在一个预言OOO使得coNPO⊈IPOcoNPO⊈IPO{\sf coNP}^O \not\subseteq {\sf IP}^O,而coNPO⊆PSPACEOcoNPO⊆PSPACEO{\sf coNP}^O \subseteq {\sf PSPACE}^O所有预言OOO。 但是,我只看到很少有人对为什么IP=PSPACEIP=PSPACE{\sf IP} = {\sf PSPACE}结果不相对化给出“直接”解释,而通常的答案是“算术化”。检查IP = PSPACE证明后,该答案为假,但对我来说并不令人满意。似乎“真实”的原因可以追溯到证明问题TQBF(真正的量化布尔公式)对于PSPACE而言是完整的。为了证明这一点,您需要证明您可以以多项式大小的格式编码PSPACE机器的配置,并且(这似乎是非相对论的部分)您可以以多项式大小的格式对配置之间的“正确”转换进行编码布尔公式-使用Cook-Levin风格的步骤。 我所得出的直觉是,非相对论的结果是与图灵机的坚韧不拔相呼应的,证明TQBF对于PSPACE而言是完整的步骤就是发生这种戳戳的步骤-算术化步骤可以之所以发生这种情况,是因为您有一个明确的布尔公式需要算术化。 在我看来,这是IP = PSPACE无法相对化的根本原因;算术化技术没有使之相对化的民俗口号似乎是它的副产品:算术化的唯一方法是,如果您有一个布尔型公式,它首先对TM进行编码! 有什么我想念的吗?作为一个子问题-这是否意味着以某种方式使用TQBF的所有结果也不会相对?

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如果P = BQP,这是否意味着PSPACE(= IP)= AM?
最近,Watrous等人证明QIP(3)= PSPACE是一个了不起的结果。至少可以说对我自己来说是一个令人惊讶的结果,这让我开始思考... 我想知道经典计算机能否有效地模拟量子计算机。这可能与IP和AM的划分简单相关吗?我的意思是IP的特征在于经典交互的多项式次数,而AM具有经典交互的2轮。模拟量子计算是否可以将IP的交互量从多项式减少到恒定值?

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具有有效证明的MIP
众所周知,具有两个证明者交互式证明系统的语言集是NEXP,其中验证者以多项式时间(MIP)运行。但是,当证明者的权力受到限制时,这种交互式证明的效力是否存在界限?例如,允许具有多项式时间证明者的两证明者交互式证明的语言类别是什么? 更准确地说,假设在输入x上允许证明者提供任意的预计算时间,但是一旦与验证者进行交互,它们就被限制使用多项式空间(包括存储任何预计算的结果)和多项式时间计算他们对验证者问题的答案。我们还假设这些空间和时间边界是验证者将要发送的问题的长度(而不是x的长度)的固定多项式,以便排除验证者将以某种方式用尽的更平凡的解决方案证明者的空间由多项式提出更多问题。 显然,这对于NP就足够了。PSPACE呢?如果只有空间限制,他们可以做到,但是时间限制又如何呢?在这个方向上有什么有趣的结果吗? 我也对人们可能会考虑的其他限制感兴趣。其中之一是通信证明者->验证者的数量,我认为在PCP的背景下已对其进行了深入研究。其他有趣的约束是什么?

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来讲
概率证明系统通常被称为的限制,其中Arthur只能使用随机位,并且只能检查 Merlin发送的证明证书的位(请参阅http://en.wikipedia.org/wiki/Interactive_proof_system#PCP)。M A f (n )g (n )PCP[ f(Ñ ),克(n )]PCP[F(ñ),G(ñ)]\mathcal{PCP}[f(n),g(n)]中号一中号一种\mathcal{MA}F(n )F(ñ)f(n)G(n )G(ñ)g(n) 然而,1990年鲍鲍伊,Fortnow,和隆德证明,所以它不是准确的限制。的参数()是什么?PCP[ p Ò 升ÿ(Ñ ),p Ô 升ÿ(n )] = NËXPPCP[pØ升ÿ(ñ),pØ升ÿ(ñ)]=ñËXP\mathcal{PCP}[poly(n), poly(n)] = \mathcal{NEXP}F(Ñ ),克(n )F(ñ),G(ñ)f(n),g(n)PCP[ f(Ñ ),克(n )] = M APCP[F(ñ),G(ñ)]=中号一种\mathcal{PCP}[f(n), g(n)] = \mathcal{MA}

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对Merlin要求有效答案的唯一性是否会限制Arthur-Merlin协议的功能?
前言。 复杂性级别AM是可以通过证明者“ Merlin”和验证者“ Arthur”之间的两轮交互证明系统解决的那些问题。在以下情况下,AM中存在一个问题-测试对象X的某些属性- 对于YES实例,对于Arthur生成的(多项式长度的)随机“挑战”消息,Merlin很有可能提出(多项式长度)答复,Arthur可以将其用作X具有该属性的证据。 对于NO实例,对于Arthur生成的随机质询消息,Merlin很有可能无法制定任何答复,这些答复可以用作X上测试属性的证据。 —如果我们要求Merlin不仅给出高概率,而且针对Arthur可能提出的任何挑战给出有用的答案,那么所描述的课程也不会改变。我们可能会说,在这种情况下,我们要求Merlin的答案始终对YES实例有效,而Arthur检验的是答案的有效性。因此,如果Merlin产生无效响应,Arthur就会知道问题实例是NO实例。这是我希望考虑的设置。 一个示例是“图非同构”:给定具有相同顶点标签集的图G和H,Arthur可以通过置换其顶点标签并将其演示文稿发送给Merlin 来随机选择其中一个图并生成“加扰”版本F。如果两个图是非同构,梅林可以识别其中ģ或ħ亚瑟选择通过确定是否˚F ≅ ģ或˚F ≅ ħ,并且可以通过识别哪些两个响应˚F是同构的。但是,如果两个图G和H是同构的,则Merlin无法区分哪个图F来自,他给出的任何答案都是偶然的。因此,对于YES实例,Merlin可以始终针对任何挑战发送有效的响应;在没有实例的情况下,Merlin可能发送的任何响应都很有可能是无效的。 在上述问题中,不仅存在Merlin可以针对每个挑战向Arthur发出的有效响应,而且实际上存在唯一的有效响应:即 指出Arthur选择了G还是H,只要可以确定识别哪个与F同构。 题。 是否按照这些思路施加约束(对于YES实例,对于Arthur可能发出的任何挑战,对于Merlin而言,只有一个有效的响应)会产生更具限制性的类,就产生一个未知的等于AM的类而言?

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交互式证明系统的概况
我的第一个问题是,是否对所有经典复杂性类都知道交互式证明系统的特征。我将P,NP,PSPACE,EXP,NEXP,EXPSPACE称为递归和递归可枚举函数(尤其是)。具体来说,是否有针对递归和递归可枚举函数的交互式证明系统表征? 我只知道IP = PSPACE,而MIP = NEXPTIME。通过“知道”的意思,我理解了等式两边的对象的定义,并且有可能理解了等式。 我的第二个问题是是否有不同类型的交互式证明系统及其表征的复杂性类别的图形摘要。 具体来说,我想参考类似于Immerman的描述复杂性表征图片的图形。

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关于带有短消息的多证明人交互证明有什么了解?
Beigi,Shor和Watrous在一篇有关带短消息的量子交互证明的力量方面的论文非常出色。他们考虑了“短消息”的三种变体,而我关心的具体是它们的第二种变体,可以发送任意数量的消息,但总消息长度必须为对数。特别是,它们表明此类交互式证明系统具有BQP的表达能力。 我想知道的是,对于多重验证者设置,无论是经典验证者还是量子验证者,都有类似的结果。对于多提供者交互证明来说,是否有任何非平凡的复杂性结果已知,其中所有消息的总长度被限制为问题大小的对数?

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如何在Coq中的两个参数上归纳定义一个函数?
我如何才能说服Coq以下给出的递归函数终止?该函数带有两个归纳参数。从直觉上讲,由于任何一个参数都已分解,因此递归终止。 具体来说,该函数将两棵树作为输入。 Inductive Tree := | Tip: Tree | Bin: Tree -> Tree -> Tree. 在“树”上,我喜欢执行以下归纳样式。 Inductive TreePair := | TipTip : TreePair | TipBin : Tree -> Tree -> TreePair | BinTip : Tree -> Tree -> TreePair | BinBin : TreePair -> TreePair -> TreePair. Fixpoint pair (l …

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有平行重复定理的连续版本吗
Raz的平行保护定理是PCP,不逼近等方面的重要结果。定理如下。 G=(S,T,A,B,π,V)G=(S,T,A,B,π,V)G=(\mathcal{S},\mathcal{T},\mathcal{A},\mathcal{B},\pi, V)S,T,A,BS,T,A,B\mathcal{S},\mathcal{T},\mathcal{A},\mathcal{B}ππ\piS×TS×T\mathcal{S}\times\mathcal{T}V:S×T×A×B→{0,1}V:S×T×A×B→{0,1}V:\mathcal{S}\times\mathcal{T}\times\mathcal{A}\times\mathcal{B}\rightarrow\{0,1\}v(G)=maxhA∈HA,hB∈HB∑s,tπ(s,t)V(s,t,hA(s),hB(t))v(G)=maxhA∈HA,hB∈HB∑s,tπ(s,t)V(s,t,hA(s),hB(t))v(G)=\max_{h_A\in\mathcal{H}_A,h_B\in\mathcal{H}_B}\sum_{s,t}\pi(s,t)V(s,t,h_A(s),h_B(t))nnn游戏。定理说,如果则。Gn=(Sn,Tn,An,Bn,πn,Vn)Gn=(Sn,Tn,An,Bn,πn,Vn)G^n=(\mathcal{S}^n,\mathcal{T}^n,\mathcal{A}^n,\mathcal{B}^n,\pi^n, V^n)v(G)≤1−ϵ,v(G)≤1−ϵ,v(G)\leq 1-\epsilon,v(Gn)≤(1−ϵc)Ω(nlogmax{|A|,|B|})v(Gn)≤(1−ϵc)Ω(nlog⁡max{|A|,|B|})v(G^n)\leq (1-\epsilon^c)^{\Omega(\frac{n}{\log\max\{|A|,|B|\}})} 我的问题是,如果集合在连续空间中是无限的,将会发生什么。假设是某个空间的子集,例如或更抽象的空间。其余的都一样。由于答案集的大小是无穷大的,所以Raz定理仅给出了一个微不足道的上限。显然,倍值是单个副本的上限。连续情况下也会发生指数下降吗?将为连续函数或函数或可测量函数的集合会更有趣吗?S,T,A,BS,T,A,B\mathcal{S},\mathcal{T},\mathcal{A},\mathcal{B}RnRnR^n111nnnHA,HBHA,HB\mathcal{H}_A,\mathcal{H}_BC∞C∞C^{\infty}


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交互式证明系统中完整性和完整性的两个定义的等价性
交互式证明系统的完整性和健全性被非正式地定义为: 完整性:如果一个语句为真,诚实的证明者能够说服诚实这个事实的验证WHP。 健全性:如果陈述是错误的,作弊证明者不能说服诚实的验证者(虚假陈述的有效性) 术语“ whp”或者被解释为“概率大于(例如)2/3,”或“概率大于任何多项式的倒数”。对于下面的讨论,选择哪种“ whp”似乎并不重要。 最棘手的部分是如何的概率计算:在一些消息来源,概率被接管的随机硬币都在证明者和核查。在其他来源中,仅对验证者的随机硬币计算概率。后者通常被证明为:“无论证明者的随机币是多少,验证者都会做出正确的决定。” 在我看来,概率的两种定义似乎是等同的;但我无法证明这一点。我对吗?你能证明它们等效吗?

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梅林可以说服亚瑟多少钱吗?
梅林,谁拥有无限的计算资源,希望说服亚瑟 m|∑p≤N, p primepkm|∑p≤N, p primepkm|\sum_{p\le N,\ p\text{ prime}}p^k 为(N,m,k)(N,m,k)(N,m,k)与k=O(logN)k=O(log⁡N)k=O(\log N)和m=O(N).m=O(N).m=O(N). 以直接方式(模取幂和加法)计算此总和需要时间N(loglogN)2+o(1)N(log⁡log⁡N)2+o(1)N(\log\log N)^{2+o(1)}基于FFT的乘法。*但是Arthur只能执行O(N)O(N)O(N)运算。 (符号,与早期版本的这个问题的兼容性:让总和等于mαmαm\alpha ;然后,问题是是否αα\alpha是整数。) 梅林可以用长度为的字符串说服亚瑟O(N)O(N)O(N)吗?如果不是,他是否可以用交互式证明说服亚瑟(总交流,当然必须是O(N)O(N)O(N))?如果是这样,Merlin可以使用长度为的字符串o(N)o(N)o(N)吗?亚瑟可以利用o(N)o(N)o(N)时间吗? Arthur无法使用不确定性或其他特殊工具(量子方法,Merlin以外的Oracle等),但是如果需要,可以使用O(N)O(N)O(N)空间。当然,亚瑟不必直接计算总和,他只需要确信给定的三元组(N,m,k)会使方程为真或为假。 注意,与k=0k=0k=0它可以计算在时间的总和O(N1/2+ε)O(N1/2+ε)O(N^{1/2+\varepsilon})使用Lagarias-奥德里兹科方法。对于k>0k>0k>0该和是超线性的,因此无法直接存储(没有(例如,模块归约)),但是尚不清楚是否存在快速算法。 除了通过直接加电和加法运算之外,我还将对计算总和(模数或其他形式)的任何算法感兴趣。 * 要计算的数字,每次计算的时间为lg k log N (log log N )1 + o (1 ) = log N (log log N )2 + o (1 )。N/logNN/log⁡NN/\log NlgklogN(loglogN)1+o(1)=logN(loglogN)2+o(1)lg⁡klog⁡N(log⁡log⁡N)1+o(1)=log⁡N(log⁡log⁡N)2+o(1)\lg k\log N(\log\log N)^{1+o(1)}=\log N(\log\log N)^{2+o(1)}

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互动式的上帝数字证明?
我最近一直在学习交互式证明,并且一直想知道整个事情是否只是理论上的好奇心,或者它是否有实际用途。我以为我会从淋浴中发生的一个例子开始: 最近有消息说“上帝的数目” = 20。(上帝的数目是解决魔方的最少步骤。)尽管这很有趣,但似乎有些曲折……这在教科书中不是多项式时间可验证的“正常”证明。该证明具有明显的“蛮力”味道-我的意思是,莫雷博士实验室的帅哥试图在Google大型超级计算机中数十亿个多维数据集的组合中尝试找到这个整齐,严密的下限。 无论如何,问题是:我们如何确定Morley Davidson博士及其团队是诚实的?好吧,因为它在数学上并不严格,所以可以立即将权威人士的论据从窗口中排除。显而易见的替代方案是通过检查源代码并再次运行整个过程来重新验证证明,这似乎是对计算资源的严重浪费,更不用说每个希望对此深信不疑的人都会这样做。需要在自己的工作站上进行操作-对于真正的怀疑论者而言,这是一个非常乏味且令人不愉快的主张。因此,这似乎是一种本体论的deilema。 所以我认为这正是我们需要交互式证明的情况。Google的超级计算机可能是功能强大但具有欺骗性的Prover,而我们怀疑的,甚至不是肛门的公众人士都是Polynomially限制的验证者。如果我们能以某种方式多次查询“ Oracle”,并确信这个下限,那么我们可以确信,他是正确的事实,这是毫无疑问的。 因此,似乎决策问题“上帝的号是<20”在于或可阐明如下(非正式)Πp2Π2p\Pi_2^p 对于魔方中的所有初始组合,存在一个步长<= 20的解决方案,β可以解决该问题。αα\alphaββ\beta (不确定这是否正确,但是和β的大小都很小,给定一个初始配置和一个解决方案,可以很容易地验证它确实可以解决该多维数据集)αα\alphaββ\beta 决策问题“神的个数是20”可以重述为 上帝的数字小于20 ,存在一个解决方案,可以解决魔方的一些初始组合,需要20步。 因此,可能有IP [n]证明。(再次,检查我的工作情况) 我的问题是双重的 有实际的方法吗? 还有其他一些交互式证明“实际”使用的例子吗?

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