关于带有短消息的多证明人交互证明有什么了解？

Beigi，Shor和Watrous在一篇有关带短消息的量子交互证明的力量方面的论文非常出色。他们考虑了“短消息”的三种变体，而我关心的具体是它们的第二种变体，可以发送任意数量的消息，但总消息长度必须为对数。特别是，它们表明此类交互式证明系统具有BQP的表达能力。

我想知道的是，对于多重验证者设置，无论是经典验证者还是量子验证者，都有类似的结果。对于多提供者交互证明来说，是否有任何非平凡的复杂性结果已知，其中所有消息的总长度被限制为问题大小的对数？

完全经典案例（MIP）

如果验证者是经典的，并且证明者之间没有先验纠缠，则您的类包含BPP∪NP，并且包含在MA中。

BPP是一个下限是微不足道的。为了表明该类别包含NP，请考虑标准的两色一轮交互式打样系统，该系统具有3色性，且具有完美的完整性和健全性误差1-1 / poly。如果要将稳健度误差减小到一个常数，请将其与PCP定理结合起来。

对于上限，以下更强的语句成立：MIP的限制是，从验证者到每个证明者的总消息长度为O（log n）等于MA。这是因为每个证明者的策略都可以由一串多项式长度来描述。

有趣的是，当系统具有完美的完整性时，存在另一个上限。即，具有O（log n）位总通信的具有完美完整性的多证明人交互式证明系统最多识别P ^{NP [log]}，即使我们允许无限制的健全性错误，这一点也成立。为了在两个证明者的情况下证明这一点，令x _s为第一证明者给出的所有答案的串联，当所有问题与第一证明者的串联为s时，类似地为第二证明者定义y _t。为了确保验证者确实接受这些变量x _s和y _t必须满足某些约束条件，并注意这是2CSP。元组（s，t，x _s，y _t）最多有poly（n）个选择，对于每个选择，我们可以使用NP oracle来测试验证程序是否拒绝该元组。因此，使用NP oracle，我们可以列出变量x _s和y _t的所有约束在多项式时间内。最后，我们再次使用NP oracle来测试这些变量是否有一个满足所有约束的赋值。尽管此算法多次使用NP oracle，但除最后一个查询外，所有查询都可以并行进行，因此可以将其转换为P ^{NP [log]}算法。超过两个证明者的情况类似。

这个上限意味着尽管每个MA系统都可以完美地转换为一个系统，但除非MA⊆PNP ^[log]，否则我们不能期望具有O（log n）位通信的完美完整性的多证明者交互式证明系统。我不知道纳入MA⊆P如何不可能^{NP [日志]}是的，但我注意到，复杂性动物学指出，甲骨文有一个相对是其中BPP⊈ P ^NP（并因此明确MA⊈P ^{NP [日志]}）。

（在单证明人的情况下，Goldreich和Håstad[GH98]的定理2表示总消息长度为O（log n）位的IP 等于BPP。）

已添加。必要和充分的表征如下。

为了解释这种特征，我们需要Karp可简化性（多项式多次多可简化性）概念的变体。对于两个决策问题一和乙，让我们说，一个是FP ^BPP -reducible到乙（我知道，这是一个可怕的名字）时，有一个确定性的多项式时间图灵机中号与访问BPP预言它映射是- yes-instances的实例，no-instances的no-instances，我们允许“非智能” oracle访问（表示M可以向BPP oracle查询某个实例，该实例不满足BPP问题的承诺，在这种情况下，oracle可以任意返回yes或no。然后可以证明问题A的以下条件是等价的。

（i）A具有O（log n）位通信和双向有界错误的多证明人交互式证明系统。
（ii）A具有两证明者的一轮交互证明系统，该系统具有O（log n）位通信，完整性误差呈指数级减小和健全性误差恒定的情况。
（ⅲ）甲是FP ^BPP -reducible在NP中的问题。

（证明思想：蕴涵（ii）⇒（i）是微不足道的。对于单向错误，蕴涵（i）⇒（iii）可以通过与上述证明类似的方式获得。蕴涵（iii）⇒（ii ）遵循PCP定理，因为满足条件（ii）的问题类别在FP ^BPP可归约性下是封闭的。）

纠缠证明者的经典验证器（MIP *）

接下来考虑经典验证器和纠缠证明者的情况。在这种情况下，有界错误的类再次包含BPP∪NP。

Kempe，Kobayashi，Matsumoto，Toner和Vidick [KKMTV11]表明，NP中的每个问题都具有三证明者一轮互动证明系统，该系统具有完善的完整性和健全性错误1-1 / poly，消息的总长度为O（ log n）位，并且稳健性不受纠缠的证明。因此，总消息长度为O（log n）位且有界错误的MIP * 包含NP。伊藤，小林和松本[IKM09]（无耻的外挂）的后来结果将证明的数目从三个减少到了两个。在我所知的最大范围内，始终如一的稳健性是不容置疑的。

尚不知道在可判定问题的类R中是否包含总消息长度为O（log n）位的MIP *，并且该问题等同于是否使用padding参数的MIP *（R（另一个开放问题）。

参考文献

[GH98] Oded Goldreich和JohanHåstad。关于有界通信的交互式证明的复杂性。 信息处理快报，67（4）：205-214，1998年八月 http://dx.doi.org/10.1016/S0020-0190%2898%2900116-1

[IKM09]伊藤刚，小林博大和松本圭司。口头化和针对非本地策略的两证明单轮互动证明。 会议录：2009年第二十四届IEEE计算复杂性年度会议（CCC 2009），217-228，http： //dx.doi.org/10.1109/CCC.2009.22

[KKMTV11]朱莉娅·肯佩（Julia Kempe），小林弘大（Hirotada Kobayashi），松本圭司（Keiji Matsumoto），本·托纳（Ben Toner）和托马斯·维迪克（Thomas Vidick）。纠缠的游戏很难估计。 SIAM Journal on Computing，40（3）：848–877，2011. http://dx.doi.org/10.1137/090751293