有平行重复定理的连续版本吗

Raz的平行保护定理是PCP，不逼近等方面的重要结果。定理如下。

$G=(\mathcal{S},\mathcal{T},\mathcal{A},\mathcal{B},\pi, V)$ $\mathcal{S},\mathcal{T},\mathcal{A},\mathcal{B}$ $\pi$ $\mathcal{S}\times\mathcal{T}$ $V:\mathcal{S}\times\mathcal{T}\times\mathcal{A}\times\mathcal{B}\rightarrow\{0,1\}$

v (G) = max_{h_{A} \in H_{A}, h_{B} \in H_{B}} \sum_{s, t} π (s, t) V (s, t, h_{A} (s), h_{B} (t))

$v(G)=\max_{h_A\in\mathcal{H}_A,h_B\in\mathcal{H}_B}\sum_{s,t}\pi(s,t)V(s,t,h_A(s),h_B(t))$

n

$n$ 游戏。定理说，如果则。

G^{n} = (S^{n}, T^{n}, A^{n}, B^{n}, π^{n}, V^{n})

$G^n=(\mathcal{S}^n,\mathcal{T}^n,\mathcal{A}^n,\mathcal{B}^n,\pi^n, V^n)$

v (G) \leq 1 - ϵ,

$v(G)\leq 1-\epsilon,$

v (G^{n}) \leq (1 - ϵ^{c})^{Ω (\frac{n}{\log max {| A |, | B |}})}

$v(G^n)\leq (1-\epsilon^c)^{\Omega(\frac{n}{\log\max\{|A|,|B|\}})}$

我的问题是，如果集合在连续空间中是无限的，将会发生什么。假设是某个空间的子集，例如或更抽象的空间。其余的都一样。由于答案集的大小是无穷大的，所以Raz定理仅给出了一个微不足道的上限。显然，倍值是单个副本的上限。连续情况下也会发生指数下降吗？将为连续函数或函数或可测量函数的集合会更有趣吗？ $\mathcal{S},\mathcal{T},\mathcal{A},\mathcal{B}$ $R^n$ $1$ $n$ $\mathcal{H}_A,\mathcal{H}_B$ $C^{\infty}$

— ao
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连续情况下也会发生指数下降吗？

否。Feige和Verbitsky [FV02]表明，每n个游戏G（具有有限的问题和答案），使得v（G）≤3/ 4和v（G ⁿ）≥1/ 8。由于您的公式可以将具有任意大小的有限问题和答案的集合泛化为游戏，因此（任意多次重复）并行重复无法将游戏的价值从3/4降低到1/8。

[FV02] Uriel Feige和Oleg Verbitsky。通过并行重复减少错误-否定结果。 Combinatorica，22（4）：461-478，2002年10月。doi：10.1007 / s00493-002-0001-0。

— 伊藤刚
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