具有不相关半私人硬币的推荐游戏

我一直（现在仍然）对这个问题的答案很感兴趣，因为这是关于游戏复杂性的有趣变化，尚未解决，因此我提供了赏金。我认为最初的问题很可能太难了，所以我发表了三个相关的问题，这些问题也值得悬赏。在赏金到期之前，没有人发布任何答案。后来我能够回答两个相关的问题（问题3和4，在我的原始帖子下面讨论），表明用相关的半私人硬币（定义如下）近似参考游戏的价值是EXPTIME完全的。原始问题仍然没有答案。我也对将PSPACE和EXPTIME之间的相关游戏放入有趣的复杂度类中的任何结果感兴趣。

原始帖子：

这个问题的灵感来自对伊泰的十六进制问题的讨论。推荐游戏是这样的游戏，其中两个计算不受限制的玩家通过可翻转私人硬币的多项式时间验证程序进行通信来玩（因此，回合数和通信量也受到多项式时间的限制）。比赛结束时，裁判在P中运行算法以确定谁获胜。确定谁赢得了这场比赛（甚至是大约）是EXPTIME完成的。如果您有公共硬币和公共通讯，这些游戏都在PSPACE中。（请参见Feige和Killian，“简化游戏”。）我的问题涉及这两个结果之间的界限。

• 问题：假设您有两个玩多项式长度游戏的计算无界玩家。裁判的角色仅限于在每次移动之前为每个球员提供一定数量的私人掷硬币（与其他球员无关）。玩家的所有举动都是公开的，因此被对手看到-唯一的私人信息是掷硬币。在游戏结束时，将显示所有私人掷硬币情况，而专职裁判使用这些掷硬币情况和玩家的举动来决定谁获胜。

  根据参考的游戏结果，近似第一个玩家获胜的概率是在EXPTIME中，而且显然也是PSPACE难题。是哪个（如果有）？关于这个问题有什么了解吗？

请注意，玩家可能必须使用混合策略，因为您可以通过这种方式玩零和矩阵游戏（la von Neumann）。

附加材料：

让我们称此复杂类RGUSP（所有语言如上所述，其可以减少到一个审阅游戏用不相关半私有硬币，使得如果X ∈ 大号，播放器1胜概率≥ 2 / 3，并且如果X ∉ 大号，播放器1胜概率≤ 1 / 3）。我的三个相关问题是：$L$$x \in L$$\geq 2/3$$x \notin L$$\leq 1/3$

• 问题2：RGUSP似乎相当强大。例如，如果我们改变游戏规则，则裁判不发送消息，而是仅观察玩家1和2的公开消息，并从中接收私人消息，则近似此游戏的价值仍然等同于RGUSP。我想证明RGUSP是稳健的，所以我愿意给赏金的人谁找到一个自然复杂的C类，这样PSPACE Ç ⊆ RGUSP，那里既没有安全壳似乎是准确的。$\subseteq$$\subseteq$

• 问题3：我也强烈怀疑RGCSP类（具有相关半私人硬币的推荐游戏）是否已经完成EXPTIME，并且我也愿意将赏金给予证明这一事实的人。在RGCSP中，第一步是裁判为两个参与者提供相关的随机变量（例如，他可能会给第一个参与者一个较大的投影平面上的一个点，第二个参与者为包含该点的线）。此后，对于多项式回合，两个玩家交替发送彼此多尺寸的公共消息。比赛开始后，多时裁判决定谁赢了。估算玩家1的获胜概率有何复杂性？

• 问题4：最后，我有一个问题可能与密码和概率分布有关：是否可以在不相关的半私有硬币的裁判游戏中向两名玩家进行遗忘转移，是否可以让他们玩相关硬币的任意裁判游戏（或者，是否可以让他们玩游戏，确定赢家是EXPTIME完整的）？

我无法回答最初的问题，但是可以回答问题3（和4），当我提供悬赏时添加了该问题，因为我认为原始问题可能太难了。实际上，我有两个问题3的证明。

这是问题3的设置：我们有一个多项式时间裁判，他在比赛开始时为球员1和2提供相关的随机变量。然后，玩家1和2玩游戏，而不会受到裁判的任何干扰。比赛结束时，裁判将检查成绩单并决定谁获胜。我可以证明，决定谁赢得这样的比赛是EXPTIME完成，即使你给出的承诺是，赢家赢的概率至少是。$2/3$

========证明1 ============

第一个证明使用这样的事实，即遗忘传输对于安全的两方计算是通用的。因此，如果玩家1和2可以执行遗忘转移，则他们可以模拟任意多项式时间的裁判，因此可以应用之前被裁判的游戏为EXPTIME完成的结果。

现在，为了达到1-2的遗忘转移，在比赛开始时，裁判会给两个球员大量的“遗忘转移箱”。我们描述了这些遗忘的转移箱之一。P1得到两个随机数和r 2。P2得到这些随机数之一，[R 我和变量我（= 1或2他说，他得到了这P1的随机数）。为了执行遗忘传输，P1接收了他想要传输的两段数据，并对它们分别进行r 1和r 2的 XOR运算。$r_1$$r_2$$r_i$$i$$=1$$2$$r_1$$r_2$。然后，P2可以解码其中之一，但是P1无法确定哪个P2可以解码。这是1-2个遗忘的转移。（显然，裁判还必须给球员遗忘的转接盒，从P2到P1。）

当我第一次问问题4时，我担心安全的两方计算结果不适用于这种与裁判的交互式计算，但是实际上很容易证明它们确实如此。

===========证明2 ===========

现在是问题3的第二个证明。在这里，我们需要返回并修改Feige-Kilian证明。在此证明中，他们考虑了正在运行指数时间计算的图灵机T。Feige和Kilian 在大有限域GF（p）上的多线性多项式Q t（ x_1 ，… ， x_n ）中，在时间t处，对磁带上的位进行编码。现在，裁判将一个点赋予P1，并将包含该点的线赋予P2，两个参与者将对点和Q t上的线的评估返回给裁判。裁判使用二分法查找时间$2^n$$t$$Q_t($$, \ldots,$$)$$p$$Q_t$$t$其中P1和P2的评价同意，但他们的评价和Q 牛逼+ 1不同意，之后他要求P1一个聪明的问题，这将揭示她是谁在说谎的人。$Q_t$$Q_{t+1}$

我们将使用的第一件事是，即使使用不相关的随机硬币，裁判也可以通过使他们对要使用随机硬币提交的数据进行XOR来使玩家1和2进行位提交。因此，我们可以谈谈P1和P2将事物放入密封的信封中的情况。

有一两件事你可以尝试模拟飞鸽-Kilian的证据是：裁判给出P1有很多的不同点和P2很多线路ℓ 我，让p 我是ℓ 我。现在，在二分搜索中的每个步骤中，播放器把值Q 吨（p 我）和Q 吨（ℓ 我）到密封的信封，然后裁判选择一个随机为玩家打开。这两个参与者确定值是否一致，并相应地进行二进制搜索。现在，我们已经毁了（p $p_i$$\ell_i$$p_i$$\ell_i$$Q_{t}(p_i)$$Q_t(\ell_i)$对，因为双方球员知道点和线的价值，但我们还有很多其他的（点，线）对，我们可以使用的。$(p_i, \ell_i)$

（裁判如何选择一个随机如果他给只在游戏开始时玩家的指令呢？他可以编码价值观他给开头两位选手的XOR他的指示，和直到两个玩家都在相关时间都显示了值，这两个玩家才能阅读说明。）$(p_i, \ell_i)$

$Q_t(p_i)$$Q_t(p_j)$${p}'_k$${\ell}'_k$到P2的线组。让每条虚设线上都有两个点。如果P1恰好为一条线上的一个虚拟点提供了正确的值，而为另一虚拟点提供了错误的值，则他已表明自己是骗子，因为P2无法提供给一条直线的值。更正P1的两个点之一，而不是另一个。我们可以做类似的技巧使P2始终如一地回答。然后剩下的唯一事情就是表明，费格-基利安证明的最后一步仍然有效。事实证明这很简单，尽管详细介绍会使答案更长。