IP = PSPACE没有相对性的“真正”原因是什么？

IP = PSPACE被列为非相对化结果的典型的例子，以及用于此的证据是，存在一个预言 $O$ 使得 ${\sf coNP}^O \not\subseteq {\sf IP}^O$ ，而 ${\sf coNP}^O \subseteq {\sf PSPACE}^O$ 所有预言 $O$ 。

但是，我只看到很少有人对为什么 ${\sf IP} = {\sf PSPACE}$ 结果不相对化给出“直接”解释，而通常的答案是“算术化”。检查IP = PSPACE证明后，该答案为假，但对我来说并不令人满意。似乎“真实”的原因可以追溯到证明问题TQBF（真正的量化布尔公式）对于PSPACE而言是完整的。为了证明这一点，您需要证明您可以以多项式大小的格式编码PSPACE机器的配置，并且（这似乎是非相对论的部分）您可以以多项式大小的格式对配置之间的“正确”转换进行编码布尔公式-使用Cook-Levin风格的步骤。

我所得出的直觉是，非相对论的结果是与图灵机的坚韧不拔相呼应的，证明TQBF对于PSPACE而言是完整的步骤就是发生这种戳戳的步骤-算术化步骤可以之所以发生这种情况，是因为您有一个明确的布尔公式需要算术化。

在我看来，这是IP = PSPACE无法相对化的根本原因；算术化技术没有使之相对化的民俗口号似乎是它的副产品：算术化的唯一方法是，如果您有一个布尔型公式，它首先对TM进行编码！

有什么我想念的吗？作为一个子问题-这是否意味着以某种方式使用TQBF的所有结果也不会相对？

cc.complexity-theory interactive-proofs relativization

— 袁
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您可以将oracle gates包含在量化的布尔公式中，然后这样的相对论的TQBF ^ O对于PSPACE ^ O是完整的，因此这不是非相对论的步骤。

— EmilJeřábek在2012年

嗨，埃米尔-您能详细说明一点吗？假设我有一台

机器M，并且我尝试进行同样的证明，即L（M）（M接受的语言）可以还原为

（无论

表示）。我最终将不得不提出一个布尔表达式，该表达式表示oracle计算机M的两个配置C，C'是否是邻居（对于任何两个配置C，C'）。我如何才能确保无论布尔运算如何，此布尔公式的大小都是有限的，更不用说多项式大小了？例如，O可以编码暂停问题。

{P S P A C E}^{O}

${\sf PSPACE}^O$

T B Q F^{O}

$TBQF^O$

T B Q F^{O}

$TBQF^O$

— Henry Yuen

我想我可以进一步推翻这一点-库克-莱文定理本身会相对化吗？出于上述相同的原因，我认为没有。Cook-Levin定理是否相对论确定了TQBF的PSPACE完整性证明是否也相对论。

— 亨利·袁

除了常用的量词和布尔连接词外，QBF ^ O公式还可以使用新的无边界扇入式门，我们称其为

，其语义为

当且仅当该字符串

属于到oracle

。用这种语言表示一种配置是另一种配置的继任者是一个简单的练习，因为您可以将oracle查询磁带的内容插入到

f (x_{0}, \dots, x_{n})

$f(x_0,\dots,x_n)$

f (x_{0}, \dots, x_{n}) = 1

$f(x_0,\dots,x_n)=1$

x_{0} \dots x_{n}

$x_0\dots x_n$

O

$O$

f

$f$ 。（我在这里假设PSPACE机器只能进行多项式长查询。）

— EmilJeřábek支持Monica 2012年

我知道-您的意思是，当相对化TQBF的PSPACE完整性证明时，您不仅相对化了运行中的机器，而且还相对化了布尔公式本身（因此从严格意义上讲，它们不再是布尔公式）。在那种情况下，我可以看到为什么算术化步骤会失败。谢谢！也许您可以将其写为答案。

— 袁子春

任何形式的问题的答案，“ …… 的真正原因是什么”都必然有些主观。然而，对于IP = PSPACE的特定情况下，我认为一个不错的情况下，可以作出算术化的确是关键，通过观察，虽然IP = PSPACE没有相对化，但它确实algebrize在感阿伦森和Wigderson。正如他们在论文中所解释的，粗略地说，复杂度类包含 algebrizes如果为所有的预言和所有低度扩展的 ${\cal C} \subseteq {\cal D}$ ${\cal C}^A \subseteq {\cal D}^{\tilde A}$ $A$ $\tilde A$ 。尤其是，它们表明，包含项PSPACE IP可以进行代数化，即使它不会相对化也是如此。 $A$ $\subseteq$

我已经得出的直觉是，非相对论的结果是图灵机的精髓所在

这不是一个不好的直觉，但是我认为Aaronson-Wigderson的结果表明IP = PSPACE证明以相当有限的方式出现，并且当然没有足够复杂的方式来证明P NP，因为Aaronson和Wigderson也表明需要使用非算法技术将P与NP分开。 $\ne$

— 蒂莫西·周
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感谢您的参考。让我看看是否能理解我的观点：您-以及Aaronson / Wigderson的论文-似乎在争辩说“算术化”是一个微弱的非相对论性步骤，相对论概念的微小自然改变（即，代数相对化）将破坏此特性。由于IP = PSPACE的其余证明都是相对论的（并且我对Emil所说的还很确信），这意味着IP = PSPACE结果本身非常微不足道，这就是您所说的。很有意思！谢谢。我需要一种接受两个答案的方法:)

— Henry Yuen）

是的，基本上是正确的。

— Timothy Chow