多项式层次结构的交互式证明

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我们知道，如果您有一台PSPACE机器，它的功能足以为任何级别的多项式层次结构提供交互式证明。（如果我没记错的话，你需要的是＃P）。但是，假设你想给会员的交互式证明在语言。是不是足以能解决问题？是解决问题的是否足够？更一般地，如果你能解决或问题，什么是这足以在所有languates的交互证明？ $\Sigma_2$ $\Sigma_2$ $\Sigma_5$ $\Sigma_k$ $\Pi_k$ $\Sigma_\ell$ $\Sigma_\ell$

这个问题是由这个cstheory stackexchange问题启发的。

cc.complexity-theory interactive-proofs

— 彼得·索尔
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您仅对单个证明者案例感兴趣还是对多个证明者案例感兴趣？在我看来，解决此问题的显而易见的方法是通过PCP，这对于两个证明者可能是直截了当的，但对于单个证明者来说可能行不通。

— Joe Fitzsimons 2010年

1

我会对这两种情况都感兴趣。我已经有很长一段时间想知道这个问题了，但是根本没有考虑过多重证明。

— 彼得·索尔

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@Peter：查看IP = PSPACE论文，看来证明将使用

（对于

是完整的）而不是QBF进行，前提是您拥有足够强大的证明者来计算由以下各项引起的多项式恒等式

的算术化。我想念什么吗？

{QBF}_{k}

$\mbox{QBF}_k$

Σ_{k}^{P}

$\Sigma^P_k$

{QBF}_{k}

$\mbox{QBF}_k$

— Joe Fitzsimons 2010年

1

@乔，我没有考虑过这个主意；它可能会起作用。

— 彼得·索尔

2

乔，也许您应该将其发布为答案

— Suresh Venkat，2010年

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即使使用当前技术为coNP提供IP，也需要算术化，即使用计数，这实际上意味着#P的全部功能。我认为，即使对于coNP而言，任何较弱的证明者都将非常有趣（特别是暗示着一种新的非松散技术）。

— 诺姆
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@Peter：诺姆是对的。我从这里引用以下几行内容：...通过黑盒归约法基于NP的最坏情况下的抗碰撞哈希处理，意味着与BPP ^ NP中的证明者共同使用NP的交互式证明系统...众所周知（甚至是多证明人的）共同NP证明系统要求证明者具有#P复杂性……

— MS Dousti 2010年

在这种情况下，我的答案很可能是胡说八道。感谢您指出了这一点。

— Joe Fitzsimons 2010年

实际上，这很有趣，因为针对图非同构的交互式证明只需要一个证明者即可解决该问题。感觉像是GI非常弱（如P中）或多项式层次结构的层次的交互式证明的边界的证据很松散。

— Joe Fitzsimons 2010年

1

我认为多种证明不起作用。它是否正确？

— 彼得·索尔

1

@Joe为图形非同构的证明是恒定的圆形公共硬币证明，从而把它在类AM（广泛认为等于NP，因此GI和GNI被认为是在

）。这远低于多项式的轮次证明，而多项式轮次证明对于证明coNP完全问题的成员资格是必需的。

N P \cap c o N P

$NP \cap coNP$

— 波阿斯·巴拉克

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这是一个已知的（很棒的）开放性问题，我不时尝试解决，但没有成功。

我和阿维·威格森（Avi Wigderson）在我们的代数化论文中提到了这个问题，我们提出了一个问题，即是否可以通过代数化技术证明诸如coNP⊆IP _NP之类的容器。（这里的IP _NP表示具有BPP验证者和BPP ^NP证明者的IP 。）如果（按照我的推测）答案是否定的，那么这将提供一个正式的理由，说明任何交互式协议（如Peter要求的）都需要非相对论性。这些技术从根本上超越了IP = PSPACE所使用的技术。

一个类似的问题是BQP = IP _BQP，其中IP _BQP表示具有BPP验证者和BQP（量子多项式时间）证明者的IP。这个问题也是未解决的-尽管Broadbent，Fitzsimons和Kashefi 最近取得的突破表明，密切相关的说法是正确的。

— 斯科特·亚伦森
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是的，在证明者比#P弱的情况下，coNP是否具有交互式证明的问题（例如，可以使用NP oracle的多时制）是一个众所周知的公开问题。Haitner，Mahmoody和Xiao的以下最新论文讨论了此问题，并显示了无法做到这一点的假设的一些后果。

— 波阿斯·巴拉克（Boaz Barak）
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由于Suresh建议我发表评论作为答案，所以我会的。但是，由于我没有试图证明这一点，因此我认为这并不构成完整的答案，并且可能证明这是一个死胡同。

$\mbox{QBF}_k$ $\Sigma^P_k$ $\mbox{QBF}_k$ $\Sigma^P_k$

— 乔·菲茨西蒙斯
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coNP证明中已经出现了这个问题。sumcheck协议有n个回合（每个变量一个回合）。在每一轮中，证明者需要提出由某个指数大的和获得的多项式的系数。我不知道该如何使用比#P少的功率。

— 波阿斯·巴拉克

@Boaz：是的，我认为这种方法注定会失败。我以为我在某处看到了一种算术化的版本，使得多项式只对输入0和1取值1或0。如果是这种情况，似乎您可以使用oracle来解决相应的决策问题。再说一次，我可能只是想像得到的！

— Joe Fitzsimons 2010年