有限VC维的击中集的参数化复杂度

我对我称之为d维命中集问题的参数化复杂性感兴趣：给定一个范围空间（即一个集合系统/超图），S =（X，R）的VC维最大为d，而a正整数k，X是否包含大小为k的子集，该子集到达R中的每个范围？问题的参数化版本由k参数化。

对于d的什么值是d维命中集问题

• 在FPT中？
• 在W [1]中？
• W [1]-难吗？
• W [2]-难吗？

我所知道的可以总结如下：

• 一维击中集位于P中，因此位于FPT中。如果S的维数为1，则不难证明存在大小为2的打击集，或者S的入射矩阵完全平衡。无论哪种情况，我们都可以找到多项式时间中的最小命中集。

• 4维命中集是W [1] -hard。Dom，Fellows和Rosamond [PDF]证明了W [1]-硬度适用于用平行轴刺入R ^ 2中的平行轴矩形的问题。可以将其表示为VC维4的范围空间中的击中集。

• 如果没有对d的限制，则我们有标准的命中集问题，即W [2]-完全和NP-完全。

• Langerman和Morin [引文链接]给出了限制尺寸的Set Cover的FPT算法，尽管它们的有界尺寸模型与有界VC维度定义的模型不同。他们的模型似乎不包括例如用点击中半空间的问题，尽管他们模型的原型问题等同于用点击中超平面。

我认为这个问题太难了。我们不知道这个家庭中更容易解决的问题的答案。例如，给定平面中的一组n个点和一组（例如n个）单位磁盘，请确定是否有k个单位磁盘覆盖了这些点。有一个简单的n ^ O（k）时间算法，如果使用已知的见识可以做到n ^ O（sqrt {k}）（但那并不明显），但可以做到f（ k）* n ^ {O（1）}是开放的，实际上很有趣。（1 + eps）近似值来自Mustafa和Ray的工作http://portal.acm.org/citation.cfm?id=1542362.1542367。

顺便说一句，对于允许任何单位磁盘的连续版本，可以在n ^ {O（k）}时间内解决问题。在这种情况下，使用偏移网格也很容易实现PTAS。

我们在新的预印本中解决了这个问题：http : //arxiv.org/abs/1512.00481

低VC维度的超图中的击中集（卡尔·布林格曼，拉兹洛·科兹马，谢伊·莫兰，纳里扬那斯瓦米）。

事实证明，当VC维等于2时，命中集已经为W [1] -hard。

论文《丹尼尔·马克思：几何问题的有效逼近方案》。ESA 2005：448-459非常相关。