易决策问题，硬搜索问题

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确定纳什均衡是否存在很容易（它总是存在）；但是，实际上找到一个被认为很困难（这是PPAD-Complete）。

在决策版本容易但搜索版本相对困难的情况下（与决策版本相比），还有哪些其他问题示例？

我对决策版本不重要的问题特别感兴趣（与纳什均衡的情况不同）。

cc.complexity-theory big-list

— 特拉维斯服务
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也许应该是社区维基：meta.cstheory.stackexchange.com/questions/225/...

— 戴夫·克拉克

2

@supercooldave：在这种情况下，我不会急于CW。事实证明，非平凡但容易决策的版本和硬搜索版本几乎没有自然问题。这不一定是“大名单”。

— Jukka Suomela 2010年

1

我接受了启发式的大列表=社区Wiki。

— 戴夫·克拉克

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因此，这引发了一个问题“与搜索问题相关联的自然决策问题是什么？”。我认为网元的存在不是与网元相关的自然决策问题。

— 卡夫

1

@Kaveh：您可以为Nash定义该决策问题（如果您指定对Nash的解决方案的编码），但是问题是它是否与Nash相同，或者在形式上，该决策问题是否可以归结为Nash？。我对此表示怀疑，因为找到满足某些附加约束的纳什均衡通常是NP难的。

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）2010年

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给定一个整数，它有不平凡的因子吗？->在P中非常重要。

给定一个整数，如果有-> FP中不存在，则找到一个非平凡的因子。

— 斯利姆顿
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或者您可能会问，它有一个主要因素吗？然后，你不需要PRIMES属于P纸

— 比约恩·乔斯-汉森

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这是另一个示例：给定三次曲线图G和G中的哈密顿循环H，在G中找到不同的哈密顿循环。存在这种循环（根据史密斯定理），但据我所知，是否可以以多项式时间计算。

— 马雷克·克罗巴克（Marek Chrobak）
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如果您给出以下与“纳什均衡”相同的“余地”，则：

整数分解，决策问题是“是否存在该整数的分解表示？” （通常是），搜索问题是将其输出

可以想象，许多格状问题在这里都可以用相同类型的慷慨津贴来定义决策问题：

最短向量问题（SVP）-确定是否存在最短向量与找到最短向量
最接近的向量问题（CVP）-确定是否有最接近的向量与找到它

当然，在所有这些情况下，我所提到的决策版本都不是很有趣（因为情况很简单）。一个不那么琐碎的问题：

$k$ $k \ge 4$

平面图4的可着色性的决策问题在P中。但是首先从字典上获得这样的解决方案是NP-hard（Khuller / Vazirani）。

$k$

— 丹尼尔·阿蓬
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$G=G(n,1/2)$ $1,\ldots,n$ $1/2$ $n^{1/3}$ $G$ $H$ $H$ $n^{1/3}$

$10\log n$

— 用户名
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非常整洁！是否有与此相关的论文？

— 安德拉斯·萨拉蒙（AndrásSalamon）2010年

1

@András：为了提供更多背景知识，这被称为“隐藏集团问题”。如果植入的隐藏小集团位于Omega（sqrt（n log n））顶点上，则几乎可以肯定地看出，该小集团的顶点是那些具有最高程度的顶点。[Alon-Krivelevic-Sudakov]（tau.ac.il/~nogaa/PDFS/clique3.pdf）使用频谱技术将其改进为Omega（sqrt（n））。对于较小的隐藏集团（例如O（log n）），没有任何非平凡的东西是已知的。

— arnab

卡普（Karp）提出的另一个相关有趣的问题是，对于任意常数0 <c <1，都找到一个大小为（1 + c）log（n）的小群G（n，1/2）。众所周知，在G（n，1/2）中几乎肯定存在大小为2log（n）的团。已知的唯一多项式时间算法（例如贪婪算法）会找到大小为（1 + o（1））log（n）的群体。

— arnab

10 \log n

$10\log n$

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$a_1,a_2,a_3,...,,a_n$ $\sum_1^n{a_i} \lt 2^n -1$ $I, J$ ${1,2,..., n}$ $\sum_{i\in I} a_i=\sum_{j \in J} a_j$ $I$ $J$

子集和相等（鸽子洞版本）

— Mohammad Al-Turkistany
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$n$ $n$ $2n$ $n$ $n$ ），但没有已知的无条件多项式时间确定性算法。最近在Polymath4项目中完成了相关工作; 陶关于该项目的博客文章很好地总结了该项目。

— 阿纳布
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1

即使没有Bertrand的假设，由于素数定理和AKS素数检验，您仍具有确定的算法，该算法具有预期的多项式运行时间。

— Joe Fitzsimons 2010年

@JoeFitzsimons，我不确定“具有预期多项式运行时的确定性算法”的含义。

— Chandra Chekuri 2013年

@ChandraChekuri，“确定性”可能意味着总是得到正确的答案。

— usul 2013年

@ChandraChekuri：对不起，我的措词选择很差。我的意思是，您可以找到在预期多项式时间内具有绝对确定性的质数，而不是简单地包含有限误差。至少，我认为这就是我的意思。那是3年前。

— 2013年

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冒着有点偏离主题的风险，让我举一个简单而自然的C理论答案示例：欧拉循环和分布式算法。

就欧拉图和非欧拉图而言，决策问题并非完全无关紧要。

但是，有一种快速而简单的分布式算法可以解决决策问题（在某种意义上，对于是实例，所有节点输出“ 1”，对于不实例，至少一个节点输出“ 0”）：每个节点仅检查自己度的奇偶校验，并相应输出0或1。

$\Omega(n)$ $O(n)$

$O(1)$ $\Theta(n)$

编辑：这隐式地假设该图是连接的（或者等效地，我们要在每个连接的组件中找到一个欧拉循环）。

— Jukka Suomela
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这可能是一个愚蠢的问题（因为我对分布式计算几乎一无所知），但是可以保证图形已连接，还是易于以分布式方式有效地检查连接性？

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）2010年

谢谢，根本不是一个愚蠢的问题。我澄清了我的答案，我忘了在这里添加假设以处理连接图。（通常，从分布式算法的角度来研究断开连接的图没有什么意义，因为按照定义，没有方法可以在连接的组件之间传输信息，但是当然应该明确指出这一点。）

— Jukka Suomela 2010年

谢谢！阅读您的答案后，我认为应该很明显地假设该图（=网络拓扑）已连接。:)

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）2010年

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查找Tverberg分区的复杂性未知：

$x_1,x_2,\dots, x_m$ $R^d$ $m \ge (r-1)(d+1)+1$ $S_1,S_2,\dots, S_r$ ${1,2,\dots,m}$ $\cap _{j=1}^r \text{conv} (x_i: i \in S_j) \ne \emptyset$

像纳什均衡一样，该分区由定理保证，但尚不知道是否存在用于找到一个的多重时间算法。

吉尔·凯莱（Gil Kalai）就该主题写了一系列精彩的文章：一，二和三。

— 苏雷什·文卡特（Suresh Venkat）
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2

实际上，我认为任何涉及TFNP的问题都是一个不错的选择。当定理保证一个答案存在时–然后，在伴随它的可能解决方案上定义一些明显比P难的搜索问题。

— 丹尼尔·阿蓬

7

在上述所有示例中，决策问题都在P中，搜索问题也不在P中，但也不是NP难问题。我想指出的是，可能会有一个NP硬搜索问题，其决策版本很容易。

$R_1,\ldots,R_k$ $\{0,1\}$

R_{i_{1}} (t_{11}, \dots, t_{1 r_{1}}) \land \dots \land R_{i_{m}} (t_{m 1}, \dots, t_{m r_{m}})

$R_{i_1}(t_{11},\ldots,t_{1r_1}) \wedge \cdots \wedge R_{i_m}(t_{m1},\ldots,t_{mr_m})$

t_{i j}

$t_{ij}$

0, 1

${0,1}$

r_{1}, \dots, r_{m}

$r_1,\ldots,r_m$

R_{1}, \dots, R_{k}

$R_1,\ldots,R_k$

$R_1,\ldots,R_k$ $R = \{(1,0,0),(0,1,0),(1,1,1)\}$ $k = 1$ ）。一旦可满足性问题在多项式时间内可解决，那么在字典上是否存在最小满足条件的问题就变得微不足道了。

请参阅推论13及其后续示例（至少在此在线版本中）。

— 斯利姆顿
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6

$k$ $k$
搜索版本为NP- Hard：查找没有五个顶点的无诱导路径的图的色数；由于本文。

— 彭澳
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$k$

4

$e$ $e (a + b, c + d) = e (a c) e (a d) e (b c) e (b d)$ $e$

$e$ $(g, h, g^a, h^b)$ $a = b$ $e (g, h^b) = e (h, g^a)$

这样的组也被概括为“间隙组”。

— 加密猫
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2

我猜Planar Perfect Matching错过了这个列表。

$\mathsf{NC}$
$\mathsf{NC}$

— 萨米德
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2

让我们稍微复杂一点。

关于向量加法系统（VAS）的许多决策问题都是EXPSPACE完整的，但可能需要更多的见证人。例如，确定增值服务的语言是否正常是EXPSPACE完整的（例如Blockelet＆Schmitz，2011），但是最小的等效有限状态自动机可能是阿克曼大小的（Valk＆Vidal-Naquet，1981）。这个巨大差距背后的原因是，存在着许多非正规性的见证。

— 西尔万
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