在度量图中的所有诱导子图G [S]上最大化MST（G [S]）

这个问题以前有研究过吗？

给定一个度量无向图G（边长满足三角不等式），找到一组顶点S，使得MST（G [S]）最大化，其中MST（G [S]）是由图引起的最小子图生成树S.这个问题以前有研究过吗？是NP难吗？非常感谢。

通过减少顶点覆盖，它是NP完全的。

令为难于找到最佳顶点覆盖的图形。使一个新的图与尽可能多的顶点两次，通过一个新的度一个顶点附接至的每个顶点。转成度量空间通过使距离与相邻的顶点等于和非相邻顶点之间的距离等于。对于此度量空间，诱导子图的最小生成树的权重等于顶点数加上子图的连接组件数减去一。$G$$H$$G$$H$$1$$2$

我们可以假定MST最重的子图包含所有一个一度顶点，因为将这些顶点之一添加到子集中永远不会减少分量的数量。因此，被删除以形成子图的顶点是的子集。我们还可以假设这些移除的顶点形成的顶点覆盖。因为，如果通过移除未形成顶点覆盖的顶点而形成其他诱导子图，并且是未被覆盖的边，则移除会导致诱导子图至少一样好：它的顶点少一个但是又有一个连接的分量，由附加到的的一阶顶点创建。$G$$G$$uv$$v$$H$$v$

因此，的最佳子图是通过从删除顶点覆盖而形成的。这样的子图将具有正好分量（对于一个单独添加到或连接到顶点的度为1的顶点，一个顶点，以及等于的顶点数，其中和是盖的大小。因此，其MST的权重将为。为了最大化它，我们必须最小化。$H$$G$$n$$H$$G$$2n-k$$n=|V(G)|$$k$$3n-k+1$$k$