估计多项式时间的平均值

令为一个函数。我们想估计的平均值；即：。˚F ë [ ˚F （Ñ ）] = 2 - Ñ Σ X ∈ { 0 ，1 } Ñ ˚F （X $f \colon \lbrace 0,1 \rbrace ^ n \to (2^{-n},1]$$f$$\mathbb{E}[f(n)]=2^{-n}\sum_{x\in \lbrace 0,1 \rbrace ^ n}f(x)$

NOTE: In the OP, the range of f was [0,1]. I changed this a bit for technical reasons. (This should simplify the problem; if not, forget it!)

令为（随机）估计算法。假设具有对的黑匣子访问权限。我们用表示。E f E $E$$E$$f$$E^f$

有两个条件：

1）估计器的运行时间：存在一个多项式，使得对于所有和所有，的运行时间受。n f E f（1 n）p （n $p(\cdot)$$n$$f$$E^f(1^n)$$\frac{p(n)}{\mathbb{E}[f(n)]}$

2）具有置信度估计器精度：$\delta$ q （⋅ ）ñ ˚F 1存在一个多项式，使得对于所有和所有，我们有的概率至少为。$q(\cdot)$$n$$f$${1 \over {q(n)}} < \frac{E^f(1^n)}{\mathbb{E}[f(n)]} < q(n)$$\delta$

NOTE: The confidence δ was not in the OP. The parameter δ is in (0,1), and may depend on n. For instance, it may be 1-1/2^n.

是否存在这样的估计量？

背景与动机

一开始我没有提到我的动机，因为这需要大量的背景知识。无论如何，对于发烧友，我会简单地描述一下：在下面的文章中定义的“能力证明”的背景下，就需要这样的估计器：

Mihir Bellare，Oded Goldreich。证明计算能力，1992年。未出版的手稿。

具体来说，在第5页的底部，作者隐含地假设存在这样的估计量（没有提到精度，并且运行时间没有精确定义；但是上下文清楚地定义了所有内容。）

我的第一次尝试是阅读“ 采样器的样本-采样的计算视角 ”。它涉及一个非常相似的问题，但是定义的错误概率是累加的，而我们的是乘法的。（我没有完全阅读该论文，也许它提到了我需要的地方。）

编辑（根据Tsuyoshi的要求）：实际上，“计算能力证明”的定义要求存在一个“知识提取器”，其（预期）运行时间为。由于我们不知道，因此我们想对其进行估算；但是这不能显着改变运行时间：应该将其更改为多项式因数。精度条件试图捕获这样的要求。 E[f（n）$p(n) \over E[f(n)]$$E[f(n)]$

编辑：这解决了f仅输出0或1的问题的版本。但是我认为该解决方案可以进行调整，以使其适用于更一般的情况。

也许我误解了这个问题，但这看起来并不难。

除了估算平均值外，我们不妨估算一下1的数量，然后将其称为k。令。因此平均值为k / N。您想在时间为O（N polylog（N）/ k）的多项式乘法因子内进行估算。$N = 2^n$

我认为这也可以在任何恒定的乘法因子内完成。例如，假设您要将其估计为2的系数。因此，算法的输出将在k / 2与2k之间。$k'$

我将草拟一个算法，该算法应具有适当的运行时间。首先检查k是否在N / 2和N之间。这很容易，只需对几个随机值进行采样，如果得到的半个1s大于一半，则它在此间隔内。因此，您有一个2近似值。如果不是，则检查它是否在N / 4和N / 2之间。等等。每次使间隔变小，估计k是否在该范围内的开销就更大。但是成本与间隔的大小成反比。

例如，如果要检查k是否在和，则需要进行查询。无论如何，在重复此过程足够的次数后，您应该获得k所在的间隔。说k位于和。那么，k约为。因此约为k / N。因此，在这一步中，我们将花费O（k / N）个查询。但是要执行此步骤还需要其他步骤，但这仅仅是一个额外的polylog（N）因素。因此，总运行时间为O（N polylog（N）/ k），近似为2。$N/2^q$$2N/2^q$$O(2^q)$$N/2^q$$2N/2^q$$N/2^q$$2^q$

（实际上，必须进行误差放大才能在每一步中获得不错的精度。但这只是一个额外的多对数因素。）

我喜欢在这几个阶段的过程中想到它的原因是，它突出显示了该过程作为猜测和检查程序。如果有人告诉您在和，那么您可以在承诺的时间范围内知道这一事实，从而将其估计为更高的精度。因此，我们需要消除对进行猜测的步骤。这是通过对该类型的所有可能间隔进行二进制搜索来完成的。$k$$N/2^q$$2n/2^q$$k$

为了使这种情况适用于非布尔型输出，只需对所看到的值求和即可，而不是对1进行计数。我将尝试查找一个参考，以表明它可以严格执行。

令表示应用于来自的无限随机样本序列（带有替换）的的值。令为最小正整数，使得对于某个值，也许。我猜想估计器应该完成您想要的。$f_1,f_2,\ldots$$f$$\{0,1\}^n$$k$$\sum_{i=1}^k f_i \ge M$$M$$M=polylog(n)$$M / k$

为了进行分析，您不能将Chernoff边界直接应用于随机变量但是有一个技巧可以让您仍然使用Chernoff。令表示未知期望。找到常数和（函数），以便至少有概率，而和。可以使用Chernoff限制的总和。因此，的概率至少为，因此估计量μ È （˚F ）ķ 升Ø 瓦特 ķ ħ 我克ħ μ 1 - δ Σ ķ 升ö 瓦特我= 1 ˚F 我 < 中号Σ ķ ħ 我克ħ我= 1 ˚F 我 > 中号˚F 我ķ 升ö 瓦特 < k < k h i g h 1 - $k$$\mu$$E(f)$$k_{low}$$k_{high}$$\mu$$1 - \delta$$\sum_{i=1}^{k_{low}} f_i < M$$\sum_{i=1}^{k_{high}} f_i > M$$f_i$$k_{low} < k < k_{high}$$1-\delta$$M/k$ 非常集中。