带有非负数据的0-1程序的精确指数时间算法

是否存在解决以下问题的已知算法而胜过朴素算法？

输入：矩阵 $A$ 和向量 $b,c$，其中的所有条目 $A,b,c$ 是非负整数。

输出：最佳解决方案 $x^*$ 至 $\max \{ c^T x : Ax \le b, x \in \{ 0,1\}^n \}$。

这个问题是我上一个问题的精确版本，适用于0-1编程的精确指数时间算法。

如果在非零系数的数量 $A$ 在线性 $n$，有一种算法可以解决此问题 $2^n$ 时间。

运作方式如下。我们在优化问题及其相应的决策问题之间使用标准连接。测试是否存在解决方案$x$ 哪里 $Ax\le b$ 和 $c^T x \ge \alpha$，我们将形成一个决策问题：我们将邻接约束 $c^T x\ge \alpha$ 到矩阵 $A$，并测试是否存在 $x$ 这样 $Ax \le b$ 和 $-c^T x \le -\alpha$。特别是，我们将形成一个新矩阵$A'$ 通过采取 $A$ 并添加包含 $-c^T$，我们将形成 $b'$ 通过采取 $b$ 并与附加行 $-\alpha$。我们得到一个决策问题：是否存在$x \in \{0,1\}^n$ 这样 $A' x \le b'$？这个决策问题的答案告诉我们，是否存在对原始价值优化问题的解决方案$\alpha$或更高。而且，正如您对先前问题的回答中所述，此决策问题可以在不到$2^n$ 时间，如果非零系数的数量在 $A'$ 在线性 $n$ （因此，如果 $A$ 在线性 $n$）。现在我们可以在$\alpha$ 解决您的优化问题少于 $2^n$ 时间。

感谢AustinBuchanan和Stefan Schneider帮助调试了该答案的早期版本。

如果我们考虑最小化问题 $\min_y \{c^T y : Ay \ge b, y \in \{ 0,1\}^n \}$，则以下简化表明算法可以及时运行 $O(2^{\delta n/2})$ 对于 $\delta <1$会反驳SETH。对于预期的问题（最大化版本），重新制定证明了相同的结果。

给定一个实例 $\Phi = \wedge_{i=1}^m C_i$ CNF-SAT的变量 $\{x_j \}_{j=1}^n$，制定具有两个变量的0-1 IP $y_j, \overline{y}_j$ 对于每个变量 $x_j$在SAT实例中。像往常一样，该子句$(x_1 \vee \overline{x}_2 \vee x_3)$ 将表示为 $y_1 + \overline{y}_2 + y_3 \ge 1$。然后对于每个变量$x_j$ 在SAT实例中，添加一个约束 $y_j + \overline{y}_j \ge 1$。目的是最小化$\sum_{j=1}^n (y_j + \overline{y}_j)$。知识产权的目标是$n$ 如果SAT实例是可以满足的。

感谢Stefan Schneider的更正。

更新：在关于CNF-Sat的困难问题中，作者推测SET COVER无法及时解决$O(2^{\delta n})$， $\delta <1$，在哪里 $n$指套数。如果为真，则表明我的问题无法及时解决$O(2^{\delta n})$ 也一样

更新2。据我所知，假设使用SETH，我的问题无法及时解决 $O(2^{\delta n})$，因为已显示“击中位置”（地面尺寸为$n$）无法及时解决 $O(2^{\delta n})$。