套装封面子盒的硬度

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如果元素的数量受某个函数（例如）限制，那么Set Cover问题有多难，其中是问题实例的大小。正式地， $\log n$ $n$

让和其中和。确定以下问题有多难 $\mathcal{U}=\{e_1, \cdots, e_m\}$ $\mathcal{F} = \{S_1, \cdots, S_n\}$ $S_i \subseteq \mathcal{U}$ $m = O(\log n)$

\begin{aligned} SET-COVER' = {< U, F, k >: & there exists at most k subsets \\ S_{i_{1}}, \dots, S_{i_{k}} \in F that cover U} . \end{aligned}

$\begin{align*} \text{SET-COVER'}=\{<\mathcal{U}, \mathcal{F}, k>: &\text{ there exists at most $k$ subsets }\\ &\text{ $S_{i_1}, \cdots, S_{i_k}\in \mathcal{F}$ that cover $\mathcal{U}$} \}. \end{align*}$

如果？ $m=O(\sqrt{n})$

任何基于众所周知的猜想（例如，Unique Games，ETH）的结果都是好的。

编辑1：这个问题的动机是找出问题随着增加而变得困难的时候。显然，如果，则问题出在P中；如果，则问题在于NP-hard 。问题的NP硬度阈值是多少？ $m$ $m=O(1)$ $m=O(n)$

编辑2：存在一个简单的算法来决定它在时间（其中列举的尺寸所有子集的）。因此，如果，那么问题就不是NP-hard问题，因为ETH隐含着在时间中没有任何NP-hard问题的算法（其中是NP难题）。 $O(n^{m})$ $m$ $\mathcal{F}$ $m=O(\log{n})$ $O(2^{n^{o(1)}})$ $n$

np-hardness set-cover exp-time-algorithms

— 用户1297
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2

存在一种更好的算法来确定时间

（更精确地讲是

的贝尔数）的问题：对于将元素划分为子集的每个分区，测试是否存在覆盖每个子集的输入集。因此，对于

，可以在多项式时间内解决问题。但是，这并不能完全回答您关于

。

m^{O (m)}

$m^{O(m)}$

m

$m$

m = O (\log n / \log \log n)

$m=O(\log n/\log\log n)$

m = O (\log n)

$m=O(\log n)$

— David Eppstein

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当，可以使用动态编程来找到多项式时间的最佳值。该表包含布尔值细胞为每个和，指示是否有覆盖在元件集合。 $m = O(\log n)$ $T_{\ell,X}$ $\ell \in \{0,\ldots,k\}$ $X \subseteq \mathcal{U}$ $\ell$ $X$

当，说 $m = O(\sqrt{n})$ ，问题仍然是NP难题。给定SET-COVER的实例，添加新元素和新集合，其中包括新元素的非空子集，包括（当足够大时，）。也增加 $m \leq C\sqrt{n}$ $m$ $x_1,\ldots,x_m$ $(2C^{-1}m)^2$ $\{x_1,\ldots,x_m\}$ $m$ $(2C^{-1}m)^2 < 2^m$ $k$ 一个。新是和。 $m,n$ $m' = 2m$ $n' = n + (2C^{-1}m)^2 \geq (C^{-1}m')^2$

— Yuval Filmus
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m = n^{O (1)}

$m = n^{O(1)}$

m = n^{o (1)}

$m = n^{o(1)}$

p o l y (n, 2^{m})

$\mathrm{poly}(n,2^m)$

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$m = c \log n$ $n^{O(c)}$ $k = O(1)$ $O(n^k \cdot m)$ $N$ $O(N)$ $2^{N-o(N)}$ 时间），从以下意义上讲，这两个时限是我们可以期望的多项式时间的“极限”。

$k$ $n$ $k$ $n^{k-\varepsilon}$ $k \geq 2$ $\varepsilon > 0$ $2^{N(1-\varepsilon/2)}poly(M)$ $N$ $M$ 条款。

$k$ $n$ $m$ $n^{k-\varepsilon}\cdot f(m)$ $M$ $N$ $2^{N(1-\varepsilon/2)}\cdot f(M)$ $M = O(N)$ $n^{k-\varepsilon}\cdot 2^{m/\alpha(m)}$ $\alpha(m)$

— 瑞安·威廉姆斯（Ryan Williams）
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