计算的几​​何解释

来自物理学，我受过训练，可以从几何的角度研究很多问题。例如动力学系统中歧管的微分几何等。当我阅读计算机科学的基础知识时，我总是尝试寻找几何解释。就像递归可枚举集的合理的几何解释一样（我在一部分中尝试通过利用与Diophantine Sets的等价关系将它们与代数几何联系起来，但是这种联系似乎是强制性的，因此我找不到事实的“自然”表达）公式）或漂亮的几何结果，以简单的算法对数字进行排序。尽管我不是专家，但我已经阅读了有关几何复杂度理论的调查报告，这当然是一个有趣的程序，但是我对具有极其基本概念的几何视图（例如图灵机的动力学，Lambda微积分或（不可计算的集合（而不是特定的问题）。在这些物体中找到几何结构是一项无望的工作，还是可以期待一些复杂的结果？是否有任何TCS几何处理方式？

可以用三种不同的（并且显然是不兼容的）几何方法来理解计算机程序的语义。

• 最古老的方法是通过领域理论。领域理论背后的直觉来自终止和非终止背后的不对称性。

  当扩展地处理程序时（即，仅查看其I / O行为，而不是其内部结构），始终可以在有限的时间内确认程序停止-您只需等待其停止即可。但是，无法确认程序没有停止，因为无论您等待多长时间，总会有一个停止程序运行，其运行步骤比您等待的要多。

  结果，停止和循环可以看作形成了一个拓扑空间（Sierpiński空间）。这可以带来更丰富的观察概念（通过Scott拓扑），因此您可以将程序解释为拓扑空间的元素。从传统的角度来看，这些空间通常令人惊讶-领域通常不是Hausdorff。

  我对这些想法了解的最好的拓扑介绍是史蒂夫·维克斯（Steve Vickers）的简短且通过Logic易于访问的拓扑。可以将其理解为对彼得·约翰斯通（Peter Johnstone）更为强大的《石头空间》（Stone Space）的一种热身。

  如果您正在寻找在线讲义，请让我建议Martin Escardo的数据类型和古典空间的综合拓扑。

• 并发理论引起了另一种观点。并发程序可以理解为具有多个有效执行（状态序列），具体取决于解决种族的方式。然后，可以将执行组视为一个空间，将每个可能的状态序列理解为通过该空间的路径。然后，可以应用来自代数拓扑和同伦理论的方法来得出有关程序执行的不变性。

  Nir Shavit和Maurice Herlihy利用这一思想证明了某些分布式算法的可行性，为此，他们获得了2004年Gödel奖。（请参阅异步计算的拓扑结构。）Eric Goubault有一份调查论文，从并发理论的某些几何角度解释了相关思想。

• 最近，已经观察到，从属类型理论中的同一性类型的结构与同伦理论中的同伦类型概念非常接近-实际上，从本质上说，从属类型理论可以看作是一种《合成同伦论》！（Vladimir Voevodsky开玩笑说，他花了几年时间开发出一种新的同伦理论演算法，结果发现他在CS系的同事已经在向本科生授课。）

  参见上方的科迪与同伦类型理论书的链接。

有趣的是，这三种观点似乎彼此不兼容，或者至少很难调和。依赖类型理论是一种整体语言，因此不会出现非终止（和Scott拓扑）的情况。它也是融合的，因此也不会出现“按空间计算”的观点。同样，用领域理论来表示并发已被证明非常困难，而完全令人满意的描述仍然是一个悬而未决的问题。

碰巧的是，关于 从属类型，在这种类型中，传统上表示计算机程序的静态不变量的类型可以解释为拓扑空间，或者说是此类的等价类。空格（同伦类型）。

在过去的几年中，这一直是深入研究的主题，并最终形成了一本书。

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您了解GCT，但您可能不了解 Mulmuley的早期工作，即显示PRAM计算子集和P之间的分离，该研究使用了几何思想，即如何将计算视为雕刻空间。

代数决策树模型中问题的许多下限都简化为对解决方案基础空间拓扑的推理（贝蒂数显示为相关参数）。

从某种意义上说，优化的全部是几何的：线性程序涉及寻找高维多面体的最低点，SDP是半定矩阵空间上的线性函数，依此类推。几何在这里的算法设计中大量使用。

在该主题上，我们优化图上某些功能的能力与将度量空间嵌入某些规范空间的能力之间存在着深远的联系。这是一本浩瀚的文献。

最后，近年来，人们对解决优化问题的所谓“提升和投影”机制产生了浓厚的兴趣，这些机制大量使用了基础几何体，并将其提升到更高维度的空间：代数几何学的概念开始发挥作用在这里起重要作用。

$T_1$）。从某种意义上说，它们是“有向的”，因此必须提出有向的几何才能解决这一现象。还有一些使情况变得对称的技巧（本质上是您站着头）。

理解信息处理（也称为“计算”）和几何之间的关系的一种方法是，信息处理优先于几何。物理学的某些部分应该熟悉这种观点。例如，在相对论中，我们既研究时空的因果结构（其信息处理），又研究其几何结构。许多人会认为后者比前者更基础。

在过去已经注意到了这些联系，几年前，人们在努力将计算机科学的信息理论与相对论联系起来。人们要解决的任务之一是：从时空的因果关系结构开始（这只是时空的部分顺序），重新构造时空的拓扑结构，或者可能还重建几何形状。从偏序中恢复拓扑是领域理论擅长的事情，因此取得了一些成功。

参考文献：

• 建模空间，时间和因果关系的计算结构，Dagstuhl研讨会06341，2006年8月20日至25日

• Key Martin和Prakash Panangaden：因果结构和测量的时空几何

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创造性地解释您的问题，除了您提到的GCT，还有其他可能性。一种方法是寻找普遍存在的不确定性问题（又称图灵完整性）。

• 非定期平铺和彭罗斯平铺。事实证明，飞机是否有非定期平铺的问题尚不确定。

• 细胞自动机也越来越多地被证明与物理学有着深厚的联系，许多相关的不确定性问题已经证明是TM完善的，它们自然地被解释为TM计算表（并在它们之间转换）。

• 分形算法。尚未开发的领域（例如，活跃的/正在进行中的研究！），但是存在各种不确定的问题，例如，给出了复杂的观点$(x,y)$在Mandelbrot套装中吗？

• 动力系统中的不确定性（Hainry），有时又与物理学紧密相关。动力系统通常具有多维几何解释。

• 视觉编程语言。程序可以看作是具有不同顶点类型（例如条件运算，算术运算）等的（有向图）图。