图中的循环数

多少个周期 $C_k$ $(k \geq 3)$ 有一个 $n$ 顶点图，使得图没有任何循环 $C_m$ $(m>k)$ 。

例如 $n=5$ ， $k=3$ ，则图最多包含两个 $C_3$ 就是这样 $G$ 不会有任何 $C_k (k > 3).$

我在想 $O(n)$ 周期将满足上述条件。

有人可以帮我吗。

graph-theory graph-algorithms

— 库玛
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您是在谈论顶点诱发的循环吗？不连贯的循环？

— 伊戈尔·欣卡

答案可能取决于

m - k

$m-k$ 。例如，考虑5个周期的平衡爆炸。该图不包含6个循环，但包含

Θ (n^{5})

$\Theta(n^5)$ 诱导5个周期。

— 伊戈尔·欣卡

@IgorShinkar我读到的问题是“最大数量

k

$k$ 循环

n

$n$ -vertex图没有

m

$m$ -任何周期

m > k

$m > k$ ？”

m

$m$ 不是参数，它已被普遍量化

— Sasho Nikolov

我假设您正在谈论诱发周期（空洞）。如果您需要最小数目，则肯定为0，这是一个空白图表。如果需要最大数量，则k = 3时为n ^ 3（考虑一个完整的图）。

— 曹一欣

@YixinCao对于k = 3，如果您考虑具有'n'个顶点的完整图，则我们将得到长度大于3的循环。长度大于k的任何周期

— Kumar 2013年

Answers:

它不是 $O(n)$ 除非 $k=3$ 。对于 $k$ 偶二部图中最大的循环长度是偶数 $K_{n,k/2}$ 是 $k$ ，长度为- $k$ 周期是 $(\frac{k}{2}-1)! n^{k/2}=\Theta(n^{k/2})$ 。例如， $K_{2,n}$ 具有4个周期的二次数，但周期不超过4个。

另一方面，对于任何常数范围 $k$ 在最长周期的长度上，三角形的数目确实是 $O(n)$ 。这是一个快速证明：在深度优先的搜索树中，每条边最多从其两个端点的下限到一个祖先 $k-1$ 向后退，所以树上的任何叶子最多都有度 $k-1$ 并且最多属于 $\binom{k-1}{2}$ 三角形。现在移去叶子并诱导。

— 大卫·埃普斯坦
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是的，您是对的：)

— virgi

我编写了一个简短的clingo程序来检查较小的值（它可以快速处理多达7个顶点的图形。除此之外，接地可能要花相当长的时间）：

我有这张桌子

                            n (vertices)
                         3   4   5   6   7

                      3  1   1   2   2   3

                      4      3   3   6  10

k (cycle length)      5         12  12  12

                      6             60  60

                      7                360

这是程序：

num(1..n).
is_sym_order(empty,0).
ncontains(empty,K) :- num(K).
is_sym_order(cons(K,empty),1) :- num(K).
last(cons(K,empty), K) :- num(K).
is_sym_order(cons(K,S),M+1) :- is_sym_order(S,M), ncontains(S,K), last(S,L), K > L.
ncontains(cons(K,S), J) :- J != K, ncontains(S,J), is_sym_order(cons(K,S),_).
last(cons(K,S), L) :- last(S,L), is_sym_order(cons(K,S),_).
sec_last(cons(A,S),A) :- is_sym_order(cons(A,S),2).
sec_last(cons(K,S), SL) :- sec_last(S,SL), is_sym_order(cons(K,S),_).
is_sub_order(cons(A,S), M) :- A > SL, sec_last(S,SL), is_sym_order(cons(A,S), M).

vertex(1..n).
{is_edge(V,W)} :- vertex(V), vertex(W), V < W.
sym_edge(V,W;W,V) :- is_edge(V,W).

is_path(cons(V,empty)) :- vertex(V).

is_path(cons(A,cons(B,S))) :- is_path(cons(B,S)), sym_edge(A,B), is_sym_order(cons(A,cons(B,S)),_).
is_cycle(cons(A,S)) :- is_path(cons(A,S)), is_edge(V,A), last(S,V), is_sub_order(cons(A,S),M), M >= k.

:- is_cycle(S), is_sub_order(S,M), M > k.
prim_cycle(S) :- is_cycle(S), is_sub_order(S,k).
:~ not is_cycle(S), is_sub_order(S,k).[1,S]

num_cycs(C) :- C = #count{is_cycle(S):is_cycle(S)}.
#show is_edge/2.
#show num_cycs/1.
#show prim_cycle/1.

— dspyz
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