是否知道

包含在-之间的多项式层次的每一级别有各种复杂类，包括，，，和。由于缺乏更好的术语，我将把这些和其他任何为中级班水平之间和的多项式层次。对于这个问题的目的，假定它们是包含在类 $\Delta_i^{\text{P}}$ $\text{DP}$ $\text{BH}_k$ $\Sigma_i^\text{P} \cap \Pi_i^\text{P}$ $i$ $i+1$ $\Sigma_{i+1}^\text{P} \cap \Pi_{i+1}^\text{P}$ 但包含和/或。我们希望避免包括，如果可能的话，因为它是平凡相当于如果它缩短到水平。 $\Sigma_i^\text{P}$ $\Pi_i^\text{P}$ $\Sigma_{i+1}^\text{P} \cap \Pi_{i+1}^\text{P}$ $\text{PH}$ ${i+1}^{th}$

此外，定义以下内容：
$\text{DP}_i = \left \{ L \cap L' : L \in \Sigma_i^\text{P} \text{ and } L' \in \Pi_i^{\text{P}} \right \}$

上面是类（也写为）的概括。在此定义中，等效于。在另一个cstheory.se问题中考虑了该问题。这是很容易看到，并且包含和。 $\text{DP}$ $\text{D}^\text{P}$ $\text{DP}$ $\text{DP}_1$ $\text{DP}_i \subseteq \Delta_{i+1}^{\text{P}}$ $\Sigma_i^\text{P}$ $\Pi_i^\text{P}$

参考图：

PH图

问题：
假设多项式层次结构崩溃到水平，但没有崩溃到水平。即，和。 ${i+1}^{th}$ $i^{th}$ $\Sigma_{i+1}^\text{P}=\Pi_{i+1}^\text{P}$ $\Sigma_{i}^\text{P}\neq\Pi_{i}^\text{P}$

我们能说什么，请在下面的任何级别，这些中间阶级自己和他人之间的关系，？是否有一个用于复杂性类集合的模式，在这种情况下，并且仅当精确地崩溃到任意选择的级别时，对于每个集合而言，这些类是等效的？ $i+1$ $\text{PH}$

正如后续，假设层级收缩至这些中间类（如中任何一个特定）。根据所选的课，做我们知道这崩溃必须继续向下延伸，甚至向的水平？ $\Delta_{i+1}^{\text{P}}$ $i^{th}$

Hemaspaandra等人在一篇论文中对上述问题进行了部分探讨和回答。al：
多项式层次结构中的向下崩溃
是否有人偶然知道本文中未提及的其他示例，或者对类要完成此操作需要发生什么有进一步的直觉？

cc.complexity-theory polynomial-hierarchy

— mdxn
source

我没有一个好的答案，但是本着复杂性的精神，我有一些答案表明，可能很难找到一个好的答案：)。

请注意，Ladner定理的广义形式意味着，严格地存在于和严格位于其之上的任何多边形的度数之间的多个多边形。特别是，如果层次结构塌陷到 -st水平而不是个，则有之间无限多的p度和。 $\mathsf{\Sigma_i P}$ $i+1$ $i$ $\mathsf{\Sigma_i P}$ $\mathsf{\Sigma_{i+1} P} \cap \mathsf{\Pi_{i+1} P}=\mathsf{\Sigma_{i+1} P}$
如果我没记错的话，构造一个看起来像算术层次结构的Oracle 仍然是一个未解决的问题。通过“看起来像算术层次，”我的意思是不会倒塌，并且所有。这至少表明您的问题的答案可能未知。 $\mathsf{PH}$ $\mathsf{PH}$ $\mathsf{\Sigma_{k} P} \cup \mathsf{\Pi_k P} \subsetneq \mathsf{\Delta_{k+1} P} = \mathsf{\Sigma_{k+1} P} \cap \mathsf{\Pi_{k+1} P}$ $k$
KER-I柯给出了他分开的水平神谕从那些。由于这两个层次结构相互交织，因此至少为您提供了有关级别之间问题的可相对崩溃的信息。 $\mathsf{BPH}$ $\mathsf{PH}$ $\mathsf{PH}$
下一个参考是错误的方向，但是您可能也对结果及其技术感兴趣。Chang和Kadin表明，如果布尔层次结构（完全位于的第二个级别以下，但将扩展到整个层次结构）崩溃到第个级别，则崩溃到布尔第个级别在分层。 $\mathsf{PH}$ $\mathsf{DP}$ $k$ $\mathsf{PH}$ $k$ $\mathsf{\Sigma_2 P}$

— 约书亚·格罗夫（Joshua Grochow）
source

Σ_{k} P \cup Π_{k} P ⊊ Δ_{k} P = Σ_{k + 1} P \cap Π_{k + 1} P

$\mathsf{\Sigma_{k} P} \cup \mathsf{\Pi_k P} \subsetneq \mathsf{\Delta_k P} = \mathsf{\Sigma_{k+1} P} \cap \mathsf{\Pi_{k+1} P}$

Δ_{k} P = Σ_{k} P \cup Π_{k} P ⊊ Δ_{k + 1} P = Σ_{k + 1} P \cap Π_{k + 1} P ?

$\mathsf{\Delta_{k} P}=\mathsf{\Sigma_{k} P} \cup \mathsf{\Pi_k P} \subsetneq \mathsf{\Delta_{k+1} P} = \mathsf{\Sigma_{k+1} P} \cap \mathsf{\Pi_{k+1} P}?$

Σ_{k - 1}^{P} \cup Π_{k - 1}^{P} \subseteq Δ_{k}^{P} \subseteq Σ_{k}^{p} \cap Π_{k}^{P} \subseteq Σ_{k}^{P} \cup Π_{k}^{P}

$\Sigma_{k-1}^P\cup\Pi_{k-1}^P\subseteq \Delta_k^P\subseteq \Sigma_k^p\cap\Pi_k^P\subseteq \Sigma_k^P\cup\Pi_k^P$

P = Σ_{0}^{P} \cup Π_{0}^{P} = P \cup P \subseteq Δ_{1}^{P} = P \subseteq Σ_{1}^{p} \cap Π_{1}^{P} = N P \cap c o N P \subseteq Σ_{1}^{P} \cup Π_{1}^{P} = N P \cup c o N P \subseteq Δ_{2}^{P} = P^{N P} \subseteq Σ_{2}^{P} \cap Π_{2}^{P} \subseteq Σ_{2}^{P} \cup Π_{2}^{P} \dots

$P=\Sigma_{0}^P\cup\Pi_{0}^P=P\cup P\subseteq \Delta_1^P=P\subseteq \Sigma_1^p\cap\Pi_1^P=NP\cap coNP\subseteq \Sigma_1^P\cup\Pi_1^P=NP\cup coNP\subseteq \Delta_2^P=P^{NP}\subseteq\Sigma_2^P\cap\Pi_2^P\subseteq\Sigma_2^P\cup\Pi_2^P\dots$