区分其他复杂性类别的障碍

做自然证明，关系化Algebrization也影响像其他复杂类的分离等？$L\neq NL\neq NP\neq coNP \neq PH\neq PSPACE$

例如，自然证明屏障应影响任何证明，因为它将分隔。然而之间的关系和似乎并不与OWFs能有多大的作为相比，之间的关系和。那么，自然证据是否会影响的更强分离？$NP\neq CoNP$$P\neq NP$$NP$$CoNP$$P$$NP$$NP\neq CoNP$

在（至少）两个领域中，现有障碍很少说：

ACC下界没有证明TC0不在（非均匀）ACC中的已知障碍-除了分隔可能是错误的可能性之外。尚不清楚自然证明障碍是否应适用于ACC。问题归结为：我们是否应该期望在ACC中可以实现伪随机函数？

LOGSPACE与NP的关系正如Fortnow所指出的那样，现有的用于有界计算的预言机制似乎并未对LOGSPACE与NP构成真正的障碍。据我所知，导致LOGSPACE和NP崩溃的已知预言模型也使ALOGRNATING LOGSPACE（即P）和ALTERNATING POLYTIME（即PSPACE）崩溃，因此，这些oracles与实际情况不一致地对待交替计算模型（因为LOGSPACE不相等）到PSPACE）。

拉兹伯罗夫（Razborov）和鲁迪奇（Rudich）在其自然证明书中的结果 相当笼统。不限于$\mathsf{P}$ 与 $\mathsf{NP}$。

我个人喜欢Stasys Jukna的最新著作“ 布尔函数复杂性：进步与前沿 ” 中的解释清楚：

定义18.30。功能$G : \{0,1\}^l \to \{0,1\}^n$ 与 $l < n$ 被称为 $(s,\epsilon)$安全伪随机数发生器（如果用于任何电路） $C$ 大小 $s$ 上 $n$ 变量

$$|Pr[C(y) = 1] − Pr[C(G(x)) = 1]| < \epsilon,$$ 哪里 $y$ 被随机地均匀地选择 $\{0,1\}^n$和 $x$ 在 $\{0,1\}^l$。

定义18.31。让$f : {0,1}^n \to {0,1}$是一个布尔函数。我们说$f$ 是 $(s,\epsilon)$-如果用于任何电路则很难 $C$ 大小 $s$，

$$|Pr[C(x) = f(x)] − \frac{1}{2}| < \epsilon,$$ 哪里 $x$ 被随机地均匀地选择 $\{0,1\}^n$。

伪随机函数生成器是布尔函数 $f(x,y) : \{0,1\}^{n+n^2} \to \{0,1\}$。通过设置$y$-随机变量，我们获得其随机子函数 $f_y(x) = f(x,y)$。让$h : \{0,1\}^n \to \{0,1\}$是一个真正的随机布尔函数。发电机$f(x,y)$ 可以防止 $\Gamma$-如果每个电路都发动攻击 $C$ 在 $\Gamma$，

$$|Pr[C(f_y) = 1] − Pr[C(h) = 1]| < 2^{−n^2}.$$

一个 $\Gamma$-自然证明 $\Lambda$ 是财产 $\Phi : B_n \to {0,1}$满足以下三个条件：
1.针对$\Lambda$ ： $\Phi(f) = 1$ 暗示 $f \notin \Lambda$。
2.大：$\Phi(f) = 1$ 至少 $2^{−O(n)}$ 所有的分数 $2^{2^n}$ 功能 $f \in B_n$。
3.建设性：$\Phi \in \Gamma$，即当在其中将其视为布尔函数时 $N = 2^n$ 变量，属性 $\Phi$ 本身属于阶级 $\Gamma$。

定理18.35。如果是复杂度等级$\Lambda$ 包含可防止Γ攻击的伪随机函数生成器，因此没有 $\Gamma$-自然证明 $\Lambda$。

问题是：1.我们是否相信有这样的硬功能？2.我们期望当前可能存在的分离证明中的性质是多少？

在另一个方向上，拉兹巴罗夫在不同地方提到，他本人将结果视为应避免的指导，而不是证明下界的基本障碍。

除了Ryan Williams过去几年的论文外，他还提到了两篇论文：

1. 蒂莫西·周（Timothy Chow），“ 几乎是自然的证明 ”，2008年，其中指出，如果我们稍稍放松一点，那么可证明的自然属性会分离$\mathsf{NP}$ 从 $\mathsf{P}$。

2. 埃里克·艾伦德（Eric Allender）和米哈尔·考克（MichalKoucký），“ 通过自我克制性扩大下界 ”，2008年，$\mathsf{NC^1}$ 从 $\mathsf{TC^0}$ 我们只需要证明的大小稍微超线性下界 $\mathsf{TC^0}$电路计算布尔公式评估问题。对于这样一个下界的自然证据的存在似乎并不是没有道理的。

相对化和代数化比较棘手，取决于我们为这些类定义相对化的方式。但一般来说很简单对角化（对角化对于所有计算相同功能的机器都使用相同的反例，即反例仅取决于较小计算中的机器，而不取决于它们的代码和计算方式）不能将这些类分开。

可以从间接对角化结果（如SAT的时空下界）中提取非简单的对角化函数。