生成语言的最小布尔电路

考虑一个非空语言长度的二进制字符串的ñ。我可以描述大号用布尔电路Ç与Ñ输入和一个输出，使得Ç （瓦特）为真当且仅当瓦特∈ 大号：这是公知的。$L$$n$$L$$C$$n$$C(w)$$w \in L$

然而，我想表示用布尔电路ç '与ñ输出和一定数目的输入，比如米，使得该组的输出值的Ç '每个的2 米可能的输入是完全大号。$L$$C'$$n$ $m$$C'$$2^m$$L$

给定，如何找到最小尺寸的电路C '，复杂度是多少？关于第一类电路（C）和第二类电路（C '）的大小的已知界限或找到它们的复杂性之间是否存在任何关系？$L$$C'$$C$$C'$

（观察到以下意义上的某种对偶性：给定，我可以通过评估电路轻松确定输入单词w是否在L中，但是一般来说，通过查找L在L中找到某个单词通常是NP难的给定C ′，给定C ′，同样很难确定L是否有输入单词w，因为我必须查看赋值是否产生w作为输出，但是很容易在其中找到某个单词通过评估任意输入上的电路获得L.）$C$$w$$L$$L$$C'$$w$$L$$w$$L$

我将指出与不确定性电路的简单连接，并简要介绍密码学的硬度。

对于，定义图像的复杂性，表示为我中号Ç （小号），如在任何（扇入型两种，AND / OR / NOT）布尔电路的最小的门数Ç ：{ 0 ，1 } 米 → { 0 ，1 } ñ其图像小号。该问题询问关于该计算的复杂性我米Ç （小号），给定的一个真值表表示$S \subseteq \{0, 1\}^n$$imc(S)$$C: \{0, 1\}^m \rightarrow \{0, 1\}^n$$S$$imc(S)$$S$（长度为的字符串）。$2^n$

还定义了不确定性的电路复杂性的，我们将表示Ñ Ç Ç （小号），作为最小非确定性电路Ç （X ，ÿ ）：{ 0 ，1 } Ñ + 米' → { 0 ，1 }恰好接受小号。也就是说，我们需要的Ç是X ∈ 小号当且仅当∃ Ÿ ：Ç （$S$$ncc(S)$$C(x, y): \{0, 1\}^{n + m'} \rightarrow \{0, 1\}$$S$$C$$x \in S$。这是一个标准的概念，用于定义非均匀类 Ñ P / p ø 升ÿ：它是类的所有组的小号= { 小号ñ } Ñ > 0，与小号Ñ ⊆ { 0 ，1 } Ñ，使得 ñ ç ç （小号ñ）≤ p Ô 升ý （ñ ）。$\exists y: C(x, y) = 1$$NP/poly$$S = \{S_n\}_{n > 0}$$S_n \subseteq \{0, 1\}^n$$ncc(S_n) \leq poly(n)$

我想指出的是。这种不平等的两个方向都很容易验证。 $imc(S) = ncc(S) \pm O(n)$

令表示确定性电路复杂度。使用Razborov-Rudich，那戴勒提到节目（大致说来这里），在某些加密的假设，在计算上很难区分的真表纸小号与d Ç Ç （小号）小，从真正随机的真表S（d c c （S ）接近最大值）。随机小号也有ñ Ç Ç （小号）近乎最大的，我们当然有$dcc(S)$$S$$dcc(S)$$S$$dcc(S)$$S$$ncc(S)$。因此，在相同的假设下，您的问题很难解决。$ncc(f) \leq dcc(f)$

给定，d c c （S ）或n c c （S ）的真值表，哪个更难计算？两种方法都有减少吗？我不知道。$S$$dcc(S)$$ncc(S)$

您应该看看Kabanets和Cai撰写的这篇论文。我将引用本文的摘要：

我们研究电路最小化问题的复杂性：给定布尔函数的真值表和参数s，确定f是否可以由最大为s的布尔电路实现。我们认为，为什么这个问题是不太可能的P（或甚至在P / p Ø 升Ÿ）通过给一些这样的假设令人惊讶的后果。我们还认为，证明此问题为N P-完全（如果确实如此）将意味着为E类证明强大的电路下限，这似乎超出了当前已知的技术。$f$$s$$f$$s$$\mathsf{P}$$\mathsf{P}/\mathsf{poly}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{E}$

虽然电路你提到计算一个函数˚F ：{ 0 ，1 } 米 → 大号，我们可以把它看成电路的序列ç ' 1，c ^ ' 2，... ，c ^ ' Ñ，其中Ç ' 我计算在我吨ħ输出位的˚F。由于每个Ç ' 我计算一个布尔函数{ 0 ，1 } $C'$$F:\{0,1\}^m \rightarrow L$$C'_1,C'_2,\ldots,C'_n$$C'_i$$i^{\rm th}$$F$$C'_i$，最小化电路 Ç ' 我似乎很难根据上述结果。$\{0,1\}^m\rightarrow \{0,1\}$$C'_i$