有界树宽图上r控制集的精确算法

给定一个图，我想找到G的最优r支配。也就是说，我想一个子集小号的V，使得在所有顶点摹都是以最多的距离[R从一些顶点小号，同时最大限度地减少大小小号。$G = (V, E)$$r$$G$$S$$V$$G$$r$$S$$S$

从到目前为止的检查中，我得到以下信息：在图形中找到一个是一个相关的问题，该图形最多是大小为k的子集S，从而图形中的所有顶点都是在atmost的距离- [R从一些顶点在小号（这里既|小号| ≤ ķ和- [R是输入的部件），用于其Demaine等。对平面图有FPT算法。否则，即使r = 1，问题也是W [ 2 ] -hard 。$(k,r)$$S$$k$$r$$S$$|S| \leq k$$r$$W[2]$$r = 1$

是否知道关于有界树宽图甚至树的控制问题的确切复杂性？（r支配的MSO是可定义的吗？通常的k支配集的问题是MSO的可定义的-然后它可以使人们使用Courcelle定理得出该问题存在线性时间算法的结论）。是否有关于此问题的条件硬度结果已知？$r$$r$$k$

的（最佳） -domination用于ģ是一种（最佳）支配的[R次方ģ - [R ，反之亦然（g ^ - [R是从获得ģ至多增加距离的不同顶点之间新的边- [R ）。$r$$G$$r$$G^r$$G^r$$G$$r$

以下事实是众所周知的：（1）强和弦图的所有幂都是强和弦的（A. Lubiw，硕士论文；另见Dahlhaus＆Duchet，关于强和弦图，Ars Combin。24 B（1987）23-30 ），以及（2）对于强和弦图，线性时间可以控制（M. Farber。强和弦图中的控制，独立控制和对偶，Discrete Appl。Math。，7（1984）115-130）。因此，对于强弦图，特别是对于树木（r固定或不固定），占优可在多项式时间内求解。$r$$r$

Gurski＆万科证明在本文 认为的集团宽度为至多2 ⋅ （[R + 1 ）总重量（g ^ ）+ 1 - 2，其中总重量（g ^ ）是树宽度ģ。因此，对于固定的r，有界树宽图的第r次方具有有界集团宽度。因此，对于固定的r，对于有界树宽图（根据库尔切尔定理），r占优可在多项式时间内求解。 $G^r$$2\cdot (r+1)^{\text{tw}(G)+1}−2$$\text{tw}(G)$$G$$r$$r$$r$$r$

对于这个问题，在树宽图上进行动态编程是很容易的。对于局部顶点解中某个顶点的最短距离，以及到支配未控制顶点所需的到未来解决方案的距离，可以使每个顶点保留在包中。$k$

总的来说，表的大小为因此对于固定的r，此问题由树宽参数化FPT，但是，如果r不固定，则成为XP算法。据我所知，对于所有r值，此问题是否为FPT的问题是开放的。$O(r^k)$$r$$r$$r$

Dawar和Kreutzer已表明，该问题在无处密集的图类上是固定参数可解决的，这些图类包括平面图，有界（局部）树宽图和所有（局部）未成年人的图类。

德沃夏克（Dvorak）表明，对于有界展开的类，存在多项式时间常数因子近似值，其中包括平面图，有界树宽的图以及所有排除次要元素的类。

Glencora Borradaile最近发表了一篇论文，Hung Le：关于树分解的r控制问题的最佳动态程序（IPEC 2016）。在这里，他们显示，则存在作为输入的曲线图的算法，整数ř，和一个树分解ģ宽度的瓦特，计算最佳ř -dominating的组G ^时刻Ö （（2 - [R + 1 ）w n ）。此外，从以下意义上讲，它们表明这是最好的方法：运行时间为O （（$G$$r$$G$$w$$r$$G$$O((2r+1)^wn)$对于 ϵ > 0将与强指数时间假说相矛盾。$O((2r+1-\epsilon)^wn^{O(1)})$$\epsilon > 0$

斯拉特（Slater）提出了一种用于计算树的最佳r支配性的线性顺序算法：

斯莱特。图中的R控制。J. ACM，23（3）：446-450，1976年7月。doi：10.1145 / 321958.321964

相同设置的分布式算法归功于Turau和Köhler：

Volker Turau和SvenKöhler。树中最小距离k支配的分布式算法。图论算法与应用杂志，19（1）：223–242,5（请参见http://jgaa.info/getPaper?id=354）