灵敏度等于块灵敏度的布尔函数

关于敏感度与块敏感度的一些工作旨在检查$s(f)$与$bs(f)$之间的间隙尽可能大的功能，以便解决$bs(f)$仅是多项式更大的猜想。比$s(f)$。相反的方向呢？关于$s(f) = bs(f)$函数，人们知道什么？

琐碎地讲，常数函数具有$0=s(f)=bs(f)$。同样，$s(f) = n$任何函数也具有$s(f) = bs(f)$。证明任何单调函数也满足该等式是不平凡的，但并不是太困难。是否还有其他具有s （f ）= b s （f ）的漂亮函数类$s(f) = bs(f)$？完整的表征将是理想的。如果我们进一步加强对$s^0(f) = bs^0(f)$和$s^1(f) = bs^1(f)$怎么办？

这个问题的动机仅仅是让人们对灵敏度与块灵敏度的关系有一些直觉。

定义

让$f:\{0,1\}^n\rightarrow \{0,1\}$是对一个布尔函数$n$比特字。对于$x \in \{0,1\}^n$和$A \subseteq \{0,1,\ldots,n\}$，让$x^A$表示$n$从获得的比特字$x$通过翻转由指定的比特$A$。如果$A = \{i\}$，我们将简单地表示这是$x^i$。

我们将f在x处的灵敏度$f$$x$定义为$s(f,x) = \# \{ i | f(x^i) \neq f(x)\}$。换句话说，$x$的位数可以翻转以翻转$f$的输出。我们定义灵敏度的$f$为$s(f) = \text{max}_x s(f,x)$。

我们定义的块灵敏度$f$在$x$（表示为$bs(f,x)$）为最大$k$使得存在不相交的子集$B_1, B_2, \ldots, B_k$的$\{1,2,\ldots, n\}$这样该$f(x^{B_i}) \neq f(x)$。我们定义块灵敏度的$f$ as$bs(f) = \text{max}_x bs(f,x)$。

最后，我们定义0灵敏度的$f$为$s^0(f) = \text{max} \{ s(f,x) | f(x) = 0 \}$。我们类似地定义1敏感度，0块敏感度和1块敏感度，分别表示为$s^1(f)$，$bs^0(f)$和$bs^1(f)$。

最近，我证明了布尔运算符AND，OR和EXOR上的unate函数和一次函数的s（f）= bs（f），并且包括结果在内的论文都被TCS 2014接受。（http：// dx .doi.org / 10.1007 / 978-3-662-44602-7_9）

您可能正在攻击此问题。如果是这样，我感到抱歉，但是在发布问题之前，我开始独立解决该问题。我论文的初稿已在2013年12月的日本国内会议上提交，提交截止日期为2013年10月。（http://www.ieice.org/ken/paper/20131220DBID/eng/）