如果P = NP，则决策问题未知在PH中，但将在P中

编辑：作为拉维Boppana正确地指出了他的答案和斯科特·阿伦森还增加了在另一个例子中他的回答中，这个问题的答案竟然是“是”在我没想到的所有办法。首先，我认为他们没有回答我的问题要问，但经过一番思考，这些建筑在我想问，这是问题的至少一个回答，“有什么办法来证明一个条件结果“P = NP⇒ 大号 ∈P”无需证明无条件结果大号 ∈PH？”谢谢你，拉维和斯科特！

是否存在满足以下两个条件的决策问题L？

未知L在多项式层次结构中。
已知的是，P = NP将意味着大号 ∈P。

人工的例子和自然的例子一样好。另外，尽管我使用字母“ L ”，但如果有帮助，它可能是一个承诺问题，而不是语言。

背景。如果我们知道一个决策问题大号是多项式层次，那么我们就知道“P = NP⇒ 大号 ∈P。”这样做的目的的问题是问反过来是否成立。如果存在满足以上两个条件的语言L，则可以将其视为反面失败的证据。

这个问题是由乔·菲茨西蒙斯（Joe Fitzsimons）对我对沃尔特·毕晓普（Walter Bishop）的问题“ #P = FP的后果 ”的回答的有趣评论引起的。

cc.complexity-theory conditional-results np polynomial-hierarchy

— 伊藤刚
source

证明普遍否定性总是很困难，但是如果存在这样的语言，我会感到惊讶。我不相信，广义的Linial-Nisan猜想（如果最终得到了证实）不会暗示您的要求。那就意味着PH中不包含BQP。如果PH崩溃为P，则B（P）仍然不会包含在P（H）中。

— Daniel Apon

您是否在问是否存在复杂度等级X st X不是PH的子集，并且P = NP-> X = P？

— 菲利普·怀特

@Philip：是的，但是我不认为这会改变问题，因为我们通常可以将决策问题L转换为可归结为L的X类决策问题。至少我的目的是就决策问题提出这个问题。

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）2010年

除了您当前的要求之外，您可能还想要求语言

在某种程度上接近PH？也许可以说是在PSPACE中（尽管有争议的是PSPACE与PH有多近；参见S. Fenner，S。Homer，M。Schaefer，R。Pruim。超多项式层次结构和多项式跳跃。理论计算机科学。第262卷（ 2001），第241-256页cse.sc.edu/~fenner/papers/hyp.pdf）。或者，也许您确实想要求一种自然的语言。

L

$L$

— 约书亚·格罗夫

@Joshua：谢谢您的评论和参考。如更新（修订版3）中所述，现在我想我已经提出了正确的问题（与修订版2中添加的内容相反）。我曾经想知道“有没有办法证明条件条件'P = NP⇒L∈P'而无需证明无条件结果L∈PH？”为此，问题的自然性就不需要了，因为一旦存在是一种证明方法，它应同样适用于自然和人为的示例。

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）2010年

Answers:

由于您不介意使用人工语言，如果P等于NP则将定义为空，如果P不等于NP则将其定义为停止问题。好的，这有点作弊，但是我认为您需要重新表达该问题以避免此类作弊。 $L$

— 拉维·博帕纳（Ravi Boppana）
source

谢谢，我明白了（定义L = {M：图灵机M停止并且P≠NP}）。当然，这并不能回答我想问的问题，但是我想我必须更多地思考才能正确提出我想问的问题。

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）2010年

如果一个人为的例子真的和自然的例子一样好，那么我确实可以提供这样的例子！

编辑：此外，我的示例比Ravi Boppana所建议的作弊要“少”些（如果P = NP，则将L表示为空语言，否则将停止问题），因为我将定义语言L请给予有限程序，以决定是否 L用任何输入x。绝对不会决定x∈L是否需要解决“无限制”数学问题，例如P对NP。 $x \in$

事不宜迟：让是multitime图灵机的枚举。对于所有，令为词典上第一个，它在长度为或更短的所有输入上正确地决定3SAT 。然后按照如下方式定义语言L：对于所有输入大小的， L如果且仅当所编码的图灵机中暂停至多 $M_1, M_2, ...$ $n$ $M_{t(n)}$ $M_i$ $n$ $x$ $n$ $x \in$ $x$ $n^{t(n)}$ 在空白磁带上运行时的步骤。

要求1：如果P = NP，则。 $\in$

证明：如果P = NP，那么有一个固定的可以解决所有输入的3SAT问题；因此所有。优质教育 $M_i$ $t(n) \le i$ $n$

要求2：如果P NP，则。 $\ne$ $\notin$

证明：如果无限制地增加，那么我们可以简单地应用时间层次定理。优质教育 $t(n)$

现在，不仅L不在P中，而且P NP：假定它也不在PH（甚至PSPACE）中！ $\ne$

顺便说一句，我想知道是否有人可以改进上述结构，以得到一种语言L，如果P = NP，则该语言L在P中，但是如果P NP ，则证明它不在PH或PSPACE中？ $\ne$

— 斯科特·亚伦森
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谢谢！我无法修改构造以使非成员资格可证明为PH，但这足以使我相信，添加L是可确定的条件并具有可确定性的建设性证据，不会大为改变这种情况。嗯

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）2010年

我会接受拉维·博帕帕纳（Ravi Boppana）的回答，因为他是第一个到达的人，尽管我想接受两者，因为两者都使我对问题有了更多的了解。希望您能理解...。

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）2010年

真好这是一个很好的答案。

— Daniel Apon 2010年

@Tyson Williams：以防万一您还没有意识到，请谨慎编辑其他用户的帖子时不要出错。幸运的是，乔注意到并纠正了它。

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）

回答斯科特·阿伦森的问题，但有点太长了评论，这里是一个语言的结构，使得意味着，但意味着。 $L$ $P = NP$ $L \in P$ $P \neq NP$ $L \notin PH$

令和与Scott的构造相同。我们让这个不会减少每个，但我们只能这样做，如果（即，如果）。施工分阶段进行。在阶段 $M_1, M_2, M_3, \dotsc$ $t(n)$ $L$ $\Sigma_{k} SAT$ $k$ $t(n) \to \infty$ $P \neq NP$ $s=(i,j)$ （使用一些易于计算的和容易可逆双射），我们确保不是来自许多酮还原到。让是最小整数，使得（基本情况：）。如果存在这样的整数，然后设置 $\Sigma^* \to \Sigma^* \times \Sigma^*$ $M_i$ $L$ $\Sigma_{j} SAT$ $n_{s}$ $t(n_{s}) > t(n_{s-1})$ $n_{0} = 1$ $n_{s}$ 。如果没有这样的整数，则之后让永远为空。 $L(1^{n_{s}}) = 1 - \Sigma_{k}SAT(M_{i}(1^{n_{s}}))$ $n_{s}$ $L$

如果，则为，因此总是有这样一个，因此不在。如果，则我的仅与Scott的有限地不同，因此在。 $P \neq NP$ $t(n) \to \infty$ $n \to \infty$ $n_{s}$ $L$ $PH$ $P = NP$ $L$ $L$ $P$

— 约书亚·格罗夫（Joshua Grochow）
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谢谢您的回答，但是不确定我是否理解该结构。在我看来，计算

可能需要无限地搜索，因此在我看来我们没有确定语言L的显式算法。如果不需要显式算法，Ravi Boppana的回答表示存在一种语言L，使得P =NP⇒L∈P且P≠NP⇒L（R（即L不确定）。

n_{s}

$n_s$

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）2010年

@Toshiyoshi Ito：我认为您不必为了给定

而计算

；所有你需要做的就是，在输入

，决定是否

的形式为

一些

，并找出哪些

它（如果有的话）。方法如下：在输入

，计算

，并对所有

计算

。如果

使得

n_{s}

$n_s$

s

$s$

1^{n}

$1^n$

n

$n$

n_{s}

$n_s$

s

$s$

s

$s$

1^{n}

$1^n$

t (n)

$t(n)$

t (m)

$t(m)$

m < n

$m < n$

m < n

$m < n$

，然后

不

任何

，所以

。否则，弄不清哪个阶段

对应于这个

（这是可以做到，因为你已经计算出所有以前的值

），然后计算

作为答案描述。

t (n) = t (m)

$t(n)=t(m)$

n

$n$

n_{s}

$n_s$

s

$s$

L (1^{n}) = 0

$L(1^n) = 0$

s

$s$

n_{s}

$n_s$

t

$t$

L (1^{n})

$L(1^n)$

— Joshua Grochow