图上有趣的函数可以有效地最大化。

假设我有一个加权图，使得是加权函数-请注意，允许负加权。瓦特：È → [ - 1 ，1 $G = (V,E,w)$$w:E\rightarrow [-1,1]$

假设定义了顶点的任何子集的属性。小号⊂ $f:2^V\rightarrow \mathbb{R}$$S \subset V$

问题：哪些有趣的示例 可以解决多项式最大化问题：？ARG 最大小号⊆ V ˚F （小号$f$$\arg\max_{S \subseteq V}f(S)$

例如，图割函数

我将“有趣”的定义含糊其词，但我希望最大化问题不是平凡的。例如，不应在不检查图形边缘的情况下确定答案（因此常数函数和基数函数并不有趣）。也不应该是$f$实际上只是通过将其填充到域$2^V$来将其他函数编码为具有多项式大小的域（即，我不希望有一些小的域$X$和某些函数$m:2^S\rightarrow X$在查看图形之前已知2 ^ S \ rightarrow X，因此感兴趣的函数实际上是$g:X\rightarrow \mathbb{R}$，并且$f(S) = g(m(S))$ 如果是这种情况，那么“最大化”问题实际上只是评估所有输入上的函数的问题。）

编辑：确实，如果忽略边缘权重，有时最小化问题很容易（尽管不能最小化切割功能，因为我允许负的边缘权重）。但是我对最大化问题特别感兴趣。但是，在这种情况下，自然加权问题不会成为问题。

每当计算满足以和定义的某些布尔谓词的边的数量时，您所写的只是布尔2-CSP。目标函数要求在对变量的所有分配中最大化满足子句的数量。已知这是NP硬的，确切的硬度阈值也假定使用UGC（参见Raghavendra'08）。（Û ，v ）Ü ∈ 小号v ∈ $f(S)$$(u,v)$$u\in S$$v\in S$

当您想在边缘的子集上最大化时，有许多自然的肯定示例，例如，在这种情况下，最大匹配是多项式时间问题的一个示例。

穹顶隔板/弱2色。

（在这种情况下，如果每个v ∈ 小号具有在邻居V ∖ 小号，反之亦然。否则˚F （小号）= 0与A溶液˚F （小号）= 1总是如果没有分离存在节点，并且可以在多项式时间内轻松找到。）$f(S) = 1$$v \in S$$V \setminus S$$f(S) = 0$$f(S) = 1$

最小切割（特别是顶点切割）。

（在这种情况下，可能是这样的：如果移除集合S中的节点不会将G划分为至少两个分量，则为0，否则为| V | − | S |。然后，最大化f等于找到最小割除，可以在多项式时间内完成。）$f$$S$$G$$|V| - |S|$$f$

您还可以定义与最小切边相对应的类似功能。

（例如，如果S = ∅或S = V，则为0 ；否则为| E | − | X |，其中X是在S中具有一个端点而在V have中具有另一个端点的边的集合。S.）$f(S)$$S = \emptyset$$S = V$$|E| - |X|$$X$$S$$V \setminus S$

最大独立集。

（这里 =中的节点的数目小号不相邻于在任何其它节点小号中的节点的+号V ∖ 小号的邻近于在一个节点小号。当且仅当小号是一个极大独立集合，我们有˚F （S ）= | V |。）$f(S)$$S$$S$$V \setminus S$$S$$S$$f(S) = |V|$