最小TSP行程的合作NP完整性？

这个问题来自我最近的博客文章，假设您进行了一次TSP游览，确定它是否是最低点是否完整？

更确切地说，以下问题是NP完全的：

实例：给定一个完整的图G，它的边以正整数加权，并且有一个访问G的所有节点的简单循环C。

问题：是否有一个简单的循环D访问G的所有节点，以使G中D的所有边的总权重严格小于G中C的所有边的总权重？

np-hardness

— 兰斯·福特诺
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可能还原的草图，以证明它是NP完全的。

非正式地，它从修改后的3SAT公式开始，该公式用于表明3SAT是ASP完全的（另一个解决方案问题），并“遵循”标准的归约链3SAT => DIRECTED HAMCYCLE => UNDIRECTED HAMCYCLE => TSP

开始与3SAT式与变量和 caluses $\varphi$ $n$ $x_1,...x_n$ $m$ $C_1,...,C_m$ ;
将其转化为新公式添加新变量 $\varphi'$ ...; $t$
...和扩大每个子句到 ; $(x_{i_1} \lor x_{i_2} \lor x_{i_3})$ $(x_{i_1} \lor x_{i_2} \lor x_{i_3} \lor t)$
从生成钻石结构图以证明定向哈密顿循环是NP-完全的；假设每个子句对应于节点； $\varphi'$ $G = \{V,E\}$ $C_j$ $N_j$ $G$
将修改为图用三个链接的节点替换每个节点，并根据用于证明未定向哈密顿循环的NP完全性的标准归约法修改边线来自直接哈密顿循环，即是用于传入边的节点， $G$ $G' = \{V',E'\}$ $u$ $u_1, u_2, u_3$ $u_1$ $u_3$ 的节点是用于输出边缘的节点；
在无向哈密顿圈实例转换到TSP实例其中的所有边缘有重量，除了在金刚石要的“正”分配的（唯一的）边缘，其具有重量（下图中的红色边缘）；最后，为使完整而增加的边的权重 $G'$ $T$ $G'$ $w = 1$ $t$ $w = 2$ $G'$ $w = 3$ 。

显然，TSP实例具有访问所有节点的简单周期，该周期对应于的令人满意的赋值，其中（并且此行程可以在多项式时间内轻松构造），但是总权重（因为它使用对应于权重为2 的赋值的边）。有另一个简单的循环，它访问总权重较低的所有节点当且仅当重量边缘时 $T$ $\varphi'$ $t = true$ $|V'|+1$ $t = true$ $T$ $|V'|$ 不使用与分配相对应；或等价于，并且仅当存在另一个满足的赋值，其中 ; 但是，当且仅当原始公式是可满足的时，这才是正确的。 $2$ $t = true$ $\varphi'$ $t = false$ $\varphi$

我会考虑更多，并且会写一份正式证明（如果没有证明是错误的:-）。让我知道您是否需要有关上述段落中的一个或多个的更多详细信息。

在此处输入图片说明

正如domotorp指出的，有趣的结果是以下问题是NP完全的：给定一个图和其中的哈密顿路径，是否具有哈密顿循环？ $G$ $G$

— 马齐奥·德·比亚西（Marzio De Biasi）
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因此，您实质上证明了给定一个图和其中的H路径，由NPc决定它是否具有H循环，对吗？

— domotorp 2014年

看起来很棒。感谢您的投入。一些变化直接解决我的问题：该图的边缘应进行加权1不同的是特殊的边应加权2和非边缘应进行加权3.

— 兰斯·福尔瑙

如果从

删除该特定边，则

变为H路径，而

将保持为H循环，因此，您实际上确实显示了我写的内容，对吗？对我来说，这种说法比原始问题看起来更有趣。

G

$G$

H_{1}

$H_1$

H_{2}

$H_2$

— domotorp 2014年

@domotorp：你是对的！:)

— Marzio De Biasi 2014年

marzio De Biasi

— T ....

Papadimitriou＆Steiglitz（1977）证明了该问题的NP完全性。

— 马库斯·里特（Marcus Ritt）
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哎呀……我有种“转弯”的感觉：-)纸在SIAM付费专页的后面，证据是否与我的相似？

— Marzio De Biasi 2014年

我无权访问该论文，但您也可以在其书的 19.9节中找到证明，这些证明可能更容易获得。

— Marcus Ritt 2014年

G

$G$

G^{'}

$G'$

G

$G$

@Marzio de Biasi我认为更新本文很好。您的替代证明仍然很有趣。

— Marcus Ritt 2014年