基本递归函数的类别是否与Fetus证明终止的函数的类别等效？

如果您还没有听说过Foetus，可以在这里继续阅读。它使用“调用矩阵”和“调用图”系统查找函数中所有递归调用的“递归行为”。为了表明函数终止，它表明对函数进行的递归调用的所有递归行为都遵循一定的“字典顺序”。它的终止检查器允许所有原始递归函数以及诸如Ackermann函数之类的函数。基本上，它允许多参数原始递归。这基本上也是Agda的终止检查器；我相信Coq也有一些类似的功能，尽管也许更通用。

通过阅读DA Turner的论文“ Total Functional Programming”。他解释说，他提出的语言将能够表达Godel研究的System T中看到的所有“原始递归功能”。他继续说，该系统“已知包括每个递归函数，其整体可以通过一阶逻辑证明”。

胎儿剂量允许所有原始递归功能吗？如果可以，那么是否允许不是原始递归函数的函数？可以提供答案吗？（因为我只是感兴趣，所以这实际上不是必需的；只是一些阅读有关此事的婚姻会很好）

额外的问题：基本递归函数在组合器方面有一个非常简洁的定义：类型S和K（不能表示定点组合器），零，后继函数和迭代函数；而已。还有其他更通用的语言，它们的定义如此简洁，并且所有表达式都以这些语言终止吗？

是的，胎儿检查器可以对Goedel T中的所有内容进行类型检查。您可以通过使用检查器显示T中的迭代运算符正在终止来显示此内容。例如，以下定义将起作用：

$$\begin{array}{lcl} \mathit{iter} & : & A \to (A \to A) \to \mathbb{N} \to A \\ \mathit{iter} \;i \;f \;0 & = & i \\ \mathit{iter} \;i \;f \;(n+1) & = & f\;(\mathit{iter} \;i \;f \;n) \end{array}$$

对于胎儿检查器（或大多数其他任何终止检查器）来说，这很容易检查，因为它显然是结构上递归的定义。

Agda和Coq都允许证明终止的功能远远超出一阶算术中证明的总和。启用此功能的功能是它们允许通过递归数据来定义类型，这称为“大消除”。（在ZF集理论中，替换的公理方案具有大致相同的目的。）

一个超越T的简单例子就是Goedel T本身的一致性！我们可以将语法作为数据类型给出：

data T : Set where 
   N : T 
   _⇒_ : T → T → T

data Term : T → Set where 
   zero : Term N
   succ : Term (N ⇒ N)
   k    : {A B : T} → Term (A ⇒ B ⇒ A)
   s    : {A B C : T} → Term ((A ⇒ B ⇒ C) ⇒ (A ⇒ B) ⇒ A ⇒ C)
   r    : {A : T} → Term (A ⇒ (A ⇒ A) ⇒ N ⇒ A)
   _·_  : {A B : T} → Term (A ⇒ B) → Term A → Term B

请注意，类型依赖项允许我们定义仅包含T的类型良好的术语的术语数据类型。然后，我们可以为这些类型提供解释功能：

interp-T : T → Set 
interp-T N       = Nat 
interp-T (A ⇒ B) = (interp-T A) → (interp-T B)

这表示N应该是Agda自然数，而T的箭头应解释为Agda函数空间。这是一个“大”消除，因为我们通过递归定义了数据类型T的结构的集合。

然后，我们可以定义一个解释函数，表明Goedel T的每个术语都可以用一个Agda术语来解释：

interp-term : {A : T} → Term A → interp-T A
interp-term zero    = 0 
interp-term succ    = \n → n + 1
interp-term k       = \x y → x
interp-term s       = \x y z → x z (y z)
interp-term r       = Data.Nat.fold 
interp-term (f · t) = (interp-term f) (interp-term t)

（我的机器上没有Agda，因此毫无疑问会缺少一些导入，固定性声明和错别字。对于那些愿意的人，他们也可以是编辑者），这是读者的一项练习。）

我不知道Agda的一致性强度是多少，但是Benjamin Werner已经证明归纳构造的微积分（Coq的内核微积分）与ZFC以及许多不可访问的基数相等。

作为说明，我应该注意到胎儿是由安德烈亚斯·阿贝尔（Andreas Abel）开发的，他还为阿格达（Agda）开发了原始的终端检查器，并从那时起就致力于更先进的终端技术。

您的问题的答案可能会有些令人失望： $\mathbb{N}$ 至 $\mathbb{N}$是恰好可以在系统中定义的功能的$\mathrm{F}$。原因是：上述类等于二阶算术（$\mathrm{PA}^2$），它等于系统中定义的功能 $\mathrm F$（例如，参见“ 证明和类型”，第11章）。此外，如果您删除了多态性，那么您将陷入可在$\mathrm{PA}$，恰好与系统中可定义的一致 $\mathrm{T}$。

再次，这样做的原因是“调用矩阵”所捕获的减少是有充分根据的，并且证明可以完全在$\mathrm{PA}$。

但是，这并不意味着胎儿并不比系统有用$\mathrm{T}$！在实践中，需要更复杂的终止分析以能够接受可计算功能的某些表示形式。例如，您不需要每次编写统一函数时都需要在Peano Arithmetic中进行复杂的证明。因此，在这方面，Fetus非常强大，并且允许您以Coq，Agda或任何其他通用证明系统不接受的方式定义函数。

如果通过原始递归函数来表示原始递归函数，并且知道Fetus包含Ackermann函数，则Fetus与pr函数的类别不一致，因为Ackermann函数不是原始递归。这是由阿克曼（Ackermann）证明的，后来罗斯扎·彼得（Rosza Peter）在1935年的“ Konstruktion nichtrekursiver Funktionen ”中给出了一个简化的证明（据我所知，不幸的是只有德语）。

如果您要寻找可以终止的较大递归函数类，而这些递归函数类可能与Fetus捕获的函数类重合，那么Rosza Peter的其他一些著作可能会让您感兴趣。

Ackermann函数包含在Rosza Peter在1937年的Uber die mehrfache Rekursion中定义的多个递归函数的类中。非正式地，多重递归背后的思想是您可以拥有多个递归变量，这些变量可以在递归步骤之后更改。例如$f(a,b)$ 可能会打电话 $f(a,b-1)$ 要么 $f(a-1,b)$。

Rosza Peter 在“ Zusammenhang der mehrfachen und transfiniten Rekursion ”中描述的超限递归概念给出了更强大的类。对于超限递归，您有一个递归变量，可以将前辈调用到特殊顺序$<$

例如，您可以将整数解释为一对整数，然后使用顺序

$$(a,b) < (c,d) \iff ( a < c \wedge b \leq d ) \vee ( a \leq c \wedge b < d )$$ 可以将其推广为整数的三倍，依此类推。彼得称这些命令$\omega^2, \omega^3$等等。您可以更进一步，将整数解释为任意数量的整数。让$p_i$ 成为 $i$-第素数。那我们可以考虑$z = p_1^{n} \cdot p_2^{x_1} \cdot p_3^{x_2} \cdot \dots$ 哪里 $n$ 表示编码为的整数的数量 $z$ 和 $x_i$包含resp。值。她表示一个整数列表的排序，例如$\omega^\omega$并通过对角化显示这种递归比多重递归强。但是，我不确定此类是否有语法特征。

[edit]原始递归函数与以下注释中所述的原始递归函数不同。但是我认为可以将超限递归的概念转换为功能。但是，尚不清楚它在功能设置上是否仍然更强大。