局部自动机的状态数

确定性自动机$\mathcal A = (X, Q, q_0, F, \delta)$被调用$k$ -local为$k > 0$如果对于每$w \in X^k$集合$\{ \delta(q,w) : q \in Q \}$包含至多一个元素。从直觉上讲，这意味着如果长度为k的单词导致一个状态，则该状态是唯一的，或者说与任意长度的单词不同$w$$k$$> k$，最后$k$符号确定其导致的状态。

现在，如果一个自动机$k$ -本地，那么它不需要$k'$ -本地一些$k' < k$，但它必须是$k'$ -地方为$k' > k$造成一定的单词的最后一个符号$|w| > k$唯一确定状态（如果有）。

现在，我尝试连接状态数和自动机的$k$局部性。我猜想：

引理：设是ķ -local，如果| 问| < k，则自动机也是| 问| -本地。$\mathcal A = (X,Q,q_0,F,\delta)$$k$$|Q| < k$$|Q|$

但是我没有证明，有什么建议或想法吗？

我希望通过这个定理推导出一些有关的自动机这是状态的数量不 -本地所有ķ ≤ ñ给出一个固定的ñ > 0，但ķ -本地一些ķ > ñ。$k$$k \le N$$N > 0$$k$$k > N$

既然你说应该有最多一个元素，我会假设你使用DFA的版本，其中δ可以是部分的。那么这是一个反：X = { 一个，b } ，Q = { 0 ，1 ，2 ，3 ，4 } ，δ （q ，一）$T_w:=\{\delta(q,w):q\in Q\}$$\delta$为 q < 4，和 δ （1 ，b ）= 2 ，δ （2 ，b ）= 3 ，δ （4 ，b ）= 0。F和 q 0显然对这个问题无关紧要。$X=\{a,b\}, Q=\{0,1,2,3,4\},\delta(q,a)=q+1$$q<4$$\delta(1,b)=2,\delta(2,b)=3,\delta(4,b)=0$$F$$q_0$

自动机是 -local，但不是5 -local，由于Ť 一个b 一个一个b = { 0 ，3 }。$6$$5$$T_{abaab} = \{0,3\}$

编辑：此反例不起作用，我将其保留，以使注释有意义。但是，以下内容可以。

取，与过渡0 → 1 （一），1 → 2 （一），2 → 3 （一），2 → 0 （b ），3 → 2 （b ）。这个自动机是$X=\{a,b\}, Q=\{0,1,2,3\}$$0\to 1(a),1\to 2(a), 2\to 3(a), 2\to 0(b), 3\to 2(b)$$5$-local，但不是 -local：对于一个一个b 一个，我们得到的路径0 → 1 → 2 → 0 → 1以及1 → 2 → 3 → 2 → 3，即Ť 一个一个b 一个 = { 1 ，3 }。$4$$aaba$$0\to 1\to 2\to 0\to 1$$1\to 2\to 3\to 2\to 3$$T_{aaba}=\{1,3\}$

逾期答案，但势必对同步延迟已经研究了几类自动机：例如见不含糊自动机; Béal等。MCS'08。

特别是; 有一个确定性自动机族，其延迟为如局部自动机的同步延迟的边界所示；Béal等。TCS'98，它匹配相应的O （| Q | 2）上限。$\Omega(|Q|^2)$$O(|Q|^2)$

PS本文中定义的同步延迟是确定性局部自动机为k- local 的最小值。$k$$k$