最长路径问题比最长路径问题容易吗？

最长的路径问题是NP困难的。（典型的？）证明依赖于哈密顿路径问题（NP完全）的减少。请注意，此处的路径被认为是（节点简单的）。也就是说，在路径中，没有一个顶点可以出现多次。显然，它也是边缘简单的（在路径中不会出现多次边缘）。

那么，如果我们放弃寻找（节点）简单路径的要求，而坚持寻找边缘简单路径（尾迹）的方式该怎么办呢？乍一看，由于找到欧拉路径比找到汉密尔顿路径容易得多，因此人们可能希望找到最长的路径比找到最长的路径容易。但是，我找不到任何证明这一点的参考，更不用说提供算法的参考了。

请注意，我知道此处提出的论点：https : //stackoverflow.com/questions/8368547/how-to-find-the-longest-heaviest-trail-in-an-undirected-weighted-graph 但是，该论点它目前的形式似乎有缺陷，因为它基本上表明您可以通过解决另一张图上的节点简单问题来解决边缘简单问题（因此，归约是错误的方法）。尚不清楚减少量是否可以容易地更改为以其他方式起作用。（不过，它的确表明，至少最长的路径问题并不比最长的路径问题难。）

那么，找到最长的踪迹（边缘简单路径）是否有任何已知结果？复杂度（类）？（高效）算法？

graph-theory graph-algorithms hamiltonian-paths

— 碧玉
source

这不是完全相同的问题，但请看一下非常相似的最小Euilerian扩展问题。

— RB

也许我不太清楚这个问题，但是即使在三次图上，汉密尔顿路径也是NP完全的，因为节点的每次遍历都需要两个边，所以即使我们从简单节点上放松条件也无法重用节点两次边缘简单路径的路径；因此，哈密顿路径问题仍然是NP完全的。

— Marzio De Biasi 2014年

@Bangye：好的，但是在三次图中，如果一个节点被遍历一次，则必须使用2条边...并且该节点不能再次遍历（因为只有一个未遍历的边）。因此，在三次图中，节点无法被“重复”（轨迹的最后边缘可能入射到已经遍历的节点上）

— Marzio De Biasi 2014年

这里是参考文献：AA Bertossi，边缘哈密顿路径问题是NP完全的，信息处理快报，13（1981）157-159。

— 拉明2014年

@Lamine：感谢您的澄清。我认为您不必删除评论，因为先提出一个类似的想法很自然，并且看到它不起作用确实很有帮助。

— Yota Otachi 2014年

从上面的评论中可以看出，即使在最大度数为3 [1]的网格图中，哈密顿循环问题仍然保持NP完全性，但是在这些图中，每个节点的遍历都需要两个边，并且最多一个边未被使用，因此节点不能经过一条欧拉小径两次。

因此，从哈密顿循环问题到您的问题，显然可以立即减少：给定最大度数为3 的网格图，只要求长度为。 $G = (V,E)$ $|V|$

但是可以使用路径末尾的节点的所有三个边缘。为了避免这种情况下，你可以选择左上节点网格图的（其具有度为2），并加入两个节点：和一个新的边缘，并要求长度的踪迹 $u$ $V' = V \cup \{u',u''\}$ $E = E \cup \{(u,u'), (u,u'')\}$ ：非正式地增加边缘势力是线索的端点。 $|V'| = |V|+2$ $u',u''$

[1] Christos H Papadimitriou，Umesh V Vazirani，关于与旅行商问题相关的两个几何问题，算法学报，第5卷，第2期，1984年6月，第231-246页，ISSN 0196-6774

— 马齐奥·德·比亚西（Marzio De Biasi）
source

我很难将这个以及其他一些评论与找到欧拉小径的已知便利相结合。还是（按照您的示例）决定是否存在长度的“欧拉式”线索的关键点

比确定是否存在长度更容易

？这当然会让我感到惊讶，但绝对有趣。

| E |

$|E|$

| V |

$|V|$

— Jasper 2014年

在三次曲线图中，您确定没有长度

，实际上所有边缘的奇数阶数均为3（

复杂度）。因此，找到长度的问题

（与附加特技

）是更硬（NPC）; 非正式地：对于每个节点，可以使用三对边来构建路径，在构建路径的其余部分之前，您不知道选择的“效果”。在正常图中，欧拉路径很容易计算，因为您可以确保在每一步都可以“返回”到起始节点（请参见Fleury算法）。

| E |

$|E|$

O (1)

$O(1)$

| V |

$|V|$

u^{'}, u^{″}

$u',u''$

— Marzio De Biasi 2014年