NP中的非平凡成员

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有没有使用语言的示例，但是我们不能通过证明存在使用该语言的多项式见证来直接证明这一事实？ $NP$

相反，可以通过将其简化为中的另一种语言来证明该语言是中的事实，这两者之间的联系并不容易，需要仔细分析。 $NP$ $NP$

更一般而言，是否存在一些有趣的问题示例，因此很难看出它们是否存在于？ $NP$ $NP$

一个半答案是在平价游戏中确定获胜者的问题：要证明它在（甚至是），我们需要深刻而又不重要的位置确定性定理。但是，这个答案并不理想，因为它仍然可以归结为该确切问题（位置策略）的多项式见证的存在，并且不能简化为另一个不同的问题。 $NP$ $NP\cap coNP$ $NP$

另一个可能是AKS素数算法：确定一个数字是否为素数是多项式，而先验的见证者并不多。假设我们排除了“令人惊讶的多项式算法”，因为它们中的许多都符合上面的描述。我对令人惊讶的不确定性算法更感兴趣。 $NP$

reductions np

— 丹尼斯
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我们知道素数是AKS之前的NP中的素数，因为是素数，如果存在使得

且对于

所有素数q ，

。

n > 2

$n > 2$

1 < r < n

$1<r<n$

r^{n - 1} = 1 \mod n

$r^{n−1} = 1 \mod n$

n - 1

$n−1$

r^{\frac{n - 1}{q}} \neq 1 \mod n

$r^\frac{n-1}{q} \neq 1 \mod n$

— Artem Kaznatcheev

有趣的是，我没想到素证。

— 丹尼斯2014年

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NP中非平凡成员资格的一个很好的例子可能来自一些问题，这些问题是否已经可以解决已经存在了一段时间。我的顶上有两个问题：字符串图识别和不正确识别（以及更常见的结类）。但是在这两种情况下，都确实存在一个多项式见证（即法线/曲面）-很难找到它们。NP中的打结也是很重要的：存在一个证书，但是需要广义黎曼假设在其大小上具有多项式界。

— 2014年

众所周知，“轨道问题”在很长一段时间内都是无法判定的。最终证明是在P中。Lipton

— Jagadish

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再举一个例子：给定一个图，确定它是否完美。该问题可以在多项式时间内解决，但是花了一段时间才证明它在NP中。

— Jagadish

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整数编程。

表明如果存在整数解，那么就会涉及多项式大小的整数解。看到

Christos Papadimitriou，“ 关于整数编程的复杂性 ”，JACM，1981年。

— 卡韦
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参见Christos Papadimitriou，“整数编程的复杂性”，JACM 28 765–768。 dx.doi.org/10.1145/322276.322287（值得一读，只有四页）。

— 安德拉斯·萨拉蒙

1

如果您无权访问ACM DL，则可以从此处获取Papadimitriou的论文。

— 卡夫2014年

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问题是“图的交叉数最多为吗？” 在NP中微不足道，直线交叉数和对交叉数的相关问题的NP成员高度不明显；cf. Bienstock，一些可能难以穿越的数字问题，离散计算。Geometry 6（1991）443-459，和Schaefer等人，《在NP中识别字符串图》，J。Comput。系统科学 67（2003）365-380。 $k$

— 用户名
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我最喜欢的例子是1977年Ashok Chandra和Philip Merlin 的经典作品。他们表明查询约束问题对于联合查询是可决定的。联合查询包含问题证明等同于确定两个输入查询之间是否存在同构。这将一个语义问题重新定义为一个语法问题，该语义问题涉及将无限集合上的量化量化为一个句法问题，只需要检查有限数量的可能同态即可。同态证书仅具有线性大小，因此问题出在NP。

该定理提供了数据库查询优化理论的基础之一。这个想法是将查询转换为另一个更快的查询。但是，需要确保优化过程不会创建新查询，而该查询无法在某些原始查询确实产生结果的数据库上给出答案。

形式上，数据库查询是形式的表达式，其中是自由变量列表，是绑定变量的列表，而是一阶公式，其语言变量和具有关系符号。查询可能包含存在量词和通用量词，公式可能包含关系原子的合取和分合，并且还可能出现负数。将查询应用于数据库实例，它是一组关系。结果是一组元组。当元组 $\mathbf{x}.Q(\mathbf{x},\mathbf{y})$ $\mathbf{x}$ $\mathbf{y}$ $Q(\mathbf{x},\mathbf{y})$ $\mathbf{x}$ $\mathbf{y}$ $Q$ $I$ $\mathbf{t}$ 替换为则可以满足公式。然后可以比较两个疑问：包含在如果每当应用于任意数据库实例产生了一定的效果，然后应用到同一个实例也产生了一定的成果。（如果不产生结果但产生结果，可以，但是对于包含，隐含必须包含在每个可能的实例中。）查询包含问题询问：给定两个数据库查询 $\mathbf{x}$ $Q(\mathbf{t},\mathbf{y})$ $Q_1$ $Q_2$ $Q_1$ $I$ $Q_2$ $I$ $Q_1$ $Q_2$ $Q_1$ 和，包含在？ $Q_2$ $Q_1$ $Q_2$

在钱德拉-梅林面前还不清楚这个问题是可以决定的。仅使用定义，就必须量化所有可能数据库的无限集合。如果查询不受限制，那么问题实际上是：让为始终为真的公式，则包含在如果有效）。（这是希尔伯特的Entscheidungsproblem问题，由Church和Turing在1936年确定无法确定。） $Q_1$ $Q_1$ $Q_2$ $Q_2$

为了避免不确定性，联合查询的形式相当有限：仅包含存在量词，并且不允许取反和析取。因此，是一个只有关系原子的合取的正存在公式。这只是逻辑的一小部分，但足以表达大部分有用的数据库查询。SQL中的经典语句表示联合查询。大多数搜索引擎查询是联合查询。 $Q$ $Q$ SELECT ... FROM

可以以一种直接的方式定义查询之间的同构（类似于图同构，需要额外的簿记）。Chandra-Merlin定理说：给定两个联合查询和，如果存在从到的查询同态，则包含在。这建立了NP的成员资格，并且很容易证明这也是NP困难的。 $Q_1$ $Q_2$ $Q_1$ $Q_2$ $Q_2$ $Q_1$

Ashok K. Chandra和Philip M. Merlin，关系数据库中联合查询的最佳实现，STOC '77 77-90。doi：10.1145 / 800105.803397

查询容确定性后来扩展到了合并查询的并集（允许分离的现有肯定查询），尽管允许分离将复杂性提高到 -complete。还针对更普遍形式的查询包含建立了可判定性和不可判定性结果，涉及在计算答案数量，在来源中组合注释或在概率数据库中组合查询结果时发生的半环评估。 $\Pi^P_2$

— 安德拉斯·萨拉蒙（AndrásSalamon）
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在阅读一些有关二次双色子方程的论文时，我找到了一个不错的候选人：

JC Lagarias，二元二次Diophantine方程解的简洁证书（2006）

从摘要中：...让表示由给出的二进制二次丢番图方程的二进制编码长度。。假设是具有非负整数解的等式。本文表明，有一个证明（即“证书”）表明具有这样的解决方案，可以在位中进行检查操作。该结果的推论是，的集合位于复杂度类别NP中。 $L(F)$ $F$ $a x_1^2 +b x_1 x_2+ c x_2^2 +d x_1+e x_2 + f = 0$ $F$ $F$ $O(L(F)^5 \log L(F) \log \log L(F))$ $\Sigma = \{F : F \text{ has a nonnegative integer solution}\}$

...但是-老实说-我唯一认为它不平凡的证据是纸张的页数... 62！:-)

— 马齐奥·德·比亚西（Marzio De Biasi）
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当公差图识别的识别打开时，以下文件显示它在NP中：

http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0166218X04000940

（后来，公差图识别显示为NP完整：http : //arxiv.org/abs/1001.3251）

— 吉姆
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决定各种无限状态系统的可达性有时是可决定的，通常不是。对于某些有趣的特殊情况，总是存在足够小且可有效检查的证书，从而将此类问题放入NP。这是一种针对单计数器参数自动机的巧妙处理：

Christoph Haase，Stephan Kreutzer，JoëlOuaknine，James Worrell，简洁和参数化一计数器自动机的可达性，CONCUR 2009，LNCS 5710 369–383。doi：10.1007 / 978-3-642-04081-8_25（扩展版）

— 安德拉斯·萨拉蒙（AndrásSalamon）
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这是一个很难确定是否存在问题的示例（尽管公认是人为的）。让两门语言，与和。现在定义语言，如下所示： $NP$ $L_1, L_2$ $L_1\in NP$ $L_2\notin NP$ $L$

L = L_{1} if the twin prime conjecture is true, and L = L_{2} otherwise

$L=L_1 \; \mbox{if the twin prime conjecture is true, and } \; L=L_2 \; \mbox{otherwise}$

如果孪生素数猜想是正确的，则。由于猜想是正确的还是不正确的，因此，是否确定确实可以很好地定义。但是，确定是哪种情况，即确定成员资格，就等于解决了著名的孪生素数猜想，因此这肯定是不平凡的... $L\in NP$ $L\in NP$ $NP$

— 安德拉斯·法拉戈（Andras Farago）
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它不仅是人工的，而且是以一种有趣的方式人工的：您没有给出决定L的TM，而是更像是“如果[双素猜想]，则TM为A，否则为B”。您可以得到一个类似的人工示例，但没有这种“松脆”，如下所示：违反孪生素数猜想。我们可以写下一个决定这种语言的多时不确定性TM（而不是描述两个可能TM的条件语句）。结果语言为或有限。

L = {x : x \in L_{2} \land \neg \exists m \leq | x |

$L = \{x : x \in L_2 \wedge \neg\exists m \leq |x|$

}

$\}$

L_{2}

$L_2$

— 约书亚·格罗肖