DAG子集总和可近似吗？

我们给出一个向无环图与每个顶点相关联的号码（克：V → Ñ）和目标数Ť ∈ Ñ。$G=(V,E)$$g:V\to \mathbb{N}$$T\in \mathbb{N}$

该DAG子集和问题（可能以不同的名称存在，参考值将是巨大的）询问是否有顶点，使得Σ v 我克（v 我）= Ť，和v 1 → 。。→ v k是G中的路径。$v_1,v_2,...,v_k$$\Sigma_{v_i}g(v_i) = T$$v_1\to..\to v_k$$G$

这个问题通常是NP-完全的，因为完整的传递图会产生经典的子集和问题。

DAG子集和问题的近似算法是具有以下属性的算法：

1. 如果存在总和为T的路径，则算法返回TRUE。
2. 如果没有路径总结到之间的数字和Ť一些Ç ∈ （0 ，1 ），则该算法返回FALSE。$(1 − c)T$$T$$c\in (0,1)$
3. 如果存在一个总和为和T之间的数字的路径，则该算法可以输出任何答案。$(1 − c)T$$T$

对于所有子集总和在多项式时间内都是近似的。$c>0$

DAG-Subset-Sum是否相同？

$v_i$$L_i$$v_i$$L_i=\{g(v_i)\}\cup\{x+g(v_i)\mid x\in \bigcup_{j\in prec(i)} L_j\}$$L_i$$O(Km)$$K$$m$

我认为标准缩放和舍入也可以应用于得出FPTAS。