图形着色可最大程度地减少每个独立集中的颜色数量

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是否知道以下要求？

要求：对于具有个顶点的任何图，都存在的着色，使得每个独立集最多由种颜色着色。 $G$ $n$ $G$ $O(\sqrt{n})$

reference-request graph-colouring

— 伊戈尔·辛卡（Igor Shinkar）
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以下声明对我来说是已知的，但由于未发布而不能算在内：个顶点上的任何图都可以着色，以便色度数的任何诱导子图最多使用最多颜色，其中。 $n$ $H$ $k$ $\chi(H)+B$ $B(B+1)\leq 2kn$

这是归纳证明；这样做的动机是要考虑不仅在图形上而且在所有归纳的子图中使用很少颜色的着色。不过，我还没有任何公开的结果。

— 阿拉文
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并不是您所要求的，但是这是一个下限-该图的任何着色都将导致由颜色着色的独立集合： $\sqrt{n}$

就拿的副本，和所有顶点连接到一个顶点。 $\sqrt{n}$ $K_{\sqrt{n}}$ $s$

显然，来自不同的每个顶点集都是独立的，并且在每个副本中，您至少可以找到一种“新”颜色。 $\sqrt{n}$ $K$ $K_{\sqrt{n}}$

如果将连接到单个顶点，则可以轻松地将此下界提高为，但仅保留颜色。 $\sqrt{2n}$ $K_1,K_2,..$ $\Omega(\sqrt{n})$

— RB
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第二个示例似乎并没有改善界限。我认为可以使用对任何IS进行着色。例如，对于n = 9，用蓝色着色，用绿色和红色着色，而用蓝色，绿色和红色。任何最大IS是由2种颜色的彩色，没有3

2 \sqrt{2 n} / 3

$2\sqrt{2n}/3$

K_{1}

$K_1$

K_{2}

$K_2$

K_{3}

$K_3$

— user15669

我不确定你是什么意思。第二个示例确实改善了边界，但没有渐近。您可以构建一个〜大小丰富多彩使用从顶点，从顶点用不同的颜色，等等（从我们将通过颜色着色顶点尚不存在我们的IS）。这适用于每种着色。

2 \sqrt{n}

$2\sqrt n$

K_{1}

$K_1$

K_{2}

$K_2$

K_{i}

$K_i$

G

$G$

— RB

另外，在您的示例中，包含的蓝色顶点，的绿色和的红色的用3种颜色着色。

K_{1}

$K_1$

K_{2}

$K_2$

K_{3}

$K_3$

— RB

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@RB感谢您的示例。您的第二张图给出的下界大致为，这是。

t \approx \sqrt{2 n}

$t \approx \sqrt{2n}$

1 + 2 + \dots + t = n

$1+2+\dots + t = n$

— 伊戈尔·欣卡

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那么以下证明呢？如果，则该主张显然成立。假设相反，让成为具有最大基数的的独立集合。颜色与颜色1，并递归颜色图表颜色。现在，如果是的独立集合，则考虑。通过归纳假设，最多使用颜色着色，因此最多使用颜色着色 $\alpha(G) \leq \sqrt{n}$ $I$ $G$ $\alpha$ $I$ $G - I$ $2,...,c$ $K$ $G$ $K' = K - I$ $K'$ $\sqrt{n-\alpha}$ $K$ $1+\sqrt{n-\alpha} \leq \sqrt{n}$ 颜色; 不等式的假设是。 $\alpha \geq \sqrt{n}$

— 速8
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1 + \sqrt{n - \sqrt{n}} > \sqrt{n}

$1+\sqrt{n-\sqrt{n}}>\sqrt{n}$ ，但是可以修改此证明以显示，对于任何任何IS最多被着色颜色。无论如何，这是参考要求，不是证明要求。

ϵ > 0

$\epsilon>0$

(1 + ϵ) \sqrt{n} + C_{ϵ}

$(1+\epsilon)\sqrt{n}+C_\epsilon$

— user15669 2014年

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确实，证明应通过将替换为起作用。对于错过了“参考请求”部分，我深表歉意，但是否应该将此结果视为民间文学艺术？顺便说一句，我和上面的人是同一个人，但是我需要找到一种方法来整合我的不同个人资料，我可能应该在meta.cstheory.stackexchange上提出要求。

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

2 \sqrt{n}

$2 \sqrt{n}$

— Super0 2014年

（在配置文件合并请求中）meta是发布此类请求的好地方。

— Suresh Venkat 2014年