计算可传递补全/路径存在预言

已经有几个问题（1，2，3约在这里传递完成），这让我觉得如果这样的事情是可能的：

假设我们得到一个有向图的输入，并想回答“$G$$(u,v)\in G^+$？”，即询问图的传递完成中两个顶点之间是否存在边 $G$？（等效地，“是否存在从$u$ 至 $v$ 在 $G$？”）。

给定后 $G$ 您可以及时运行预处理 $f(n,m)$ 然后需要及时回答查询 $g(n,m)$。

显然，如果 $f=0$ （即不允许进行预处理），最好的办法是及时回答查询 $g(n)=\Omega(n+m)$。（从运行DFS$u$ 至 $v$ 并返回true（如果存在路径）。

另一个琐碎的结果是，如果 $f=\Omega(min\{n\cdot m,n^\omega\})$，您可以计算可传递闭包，然后在 $O(1)$。

中间的东西呢？如果允许，请说$f=n^2$ 预处理时间，您可以比 $O(m+n)$？也许将其改进为$O(n)$？

另一个变化是：假设您有 $poly(n,m)$ 预处理时间，但仅 $o(n^2)$ 空间，您是否可以使用预处理比以下方法更有效地回答查询 $O(n+m)$？

我们可以说些什么吗？ $f,g$ 可以回答此类查询的折衷方案？

在GPS系统中考虑了一种类似的权衡结构，在该系统中，不可能拥有位置之间所有成对距离的完整路由表，因此它使用了距离预言机的思想，该预言表存储了部分表，但在计算整个距离时可以显着提高查询速度图（通常只产生点之间的近似距离）。

对于平面图，存在紧凑的可达性预言，

Mikkel Thorup：关于平面图的可达性和近似距离的紧凑式预言片。J.ACM 51（6）：993-1024（2004）

但是对于一般图（即使是稀疏图）也很难

Mihai Patrascu：统一细胞探针下界的景观。SIAM J.计算。40（3）：827-847（2011）

但是，有一种算法可以计算出接近最佳的可达性标签

Edith Cohen，Eran Halperin，Haim Kaplan，Uri Zwick：通过2跳标签的可达性和距离查询。SIAM J.计算。32（5）：1338-1355（2003）

Maxim A.Babenko，Andrew V.Goldberg，Anupam Gupta，Viswanath Nagarajan：轮毂标签优化算法。ICALP 2013：69-80

以Cohen等人的工作为基础。还有其他一些应用研究（数据库社区），例如

金若鸣，王冠：简单，快速和可扩展的Oracle可用性。PVLDB 6（14）：1978-1989（2013）

矢野洋介，秋叶拓ya，岩田阳一，吉田雄一：通过修剪标记地标和路径，快速，可扩展地查询图。CIKM 2013：1601-1606

我将部分回答您的问题：似乎有某些原因可能导致难以获得这种结构。

假设给定任何n节点m边有向图，您可以在T（m，n）时间对其进行预处理，以便可以在q（m，n）时间内回答可达性查询。然后，例如，您可以在n节点的m边图中找到一个三角形$T(O(m),O(n))+n q(O(m),O(n))$时间。因此$T(m,n)=O(n^2)$ 和 $q(m,n)=O(n)$将意味着突破性的结果。我们拥有的最佳三角查找算法$O(n^\omega)$ 时间，目前尚不清楚 $\omega=2$。

要查看减少量，假设我们想在某些图中找到一个三角形 $G$。在4组图上构建4层图$n$ 每个节点 $X,Y,Z,W$ 每个原始节点在哪里 $v$ 在 $G$ 有副本 $v_X,v_Y,v_Z,v_W$。现在每个边缘$(u,v)$ 在 $G$ 添加有向边 $(u_X,v_Y),(u_Y,v_Z),(u_Z,v_W)$。这样就完成了图形。现在在进行预处理$T(O(m),O(n))$ 时间，并询问有关 $v_X,v_W$ 每个 $v$。

可能需要做更多的工作，您才能更改折减值以在图形中同时列出三角形（当前仅列出三角形中的节点）。如果一个人可以有效地做到这一点，那么可能会根据3SUM要求获得一些条件下限$n^{2+o(1)}$ 时间，以及使用2010年Patrascu的结果。