NP完整度超过真实性

我最近正在研究计算的BSS模型（例如，复杂性和实计算；参见Blum，Cucker，Shub，Smale。）

实数，示出的是，给定的多项式的系统˚F 1，⋯ ，˚F 米 ∈ [R [ X 1，⋯ ，X Ñ ]，零的存在是Ñ P ř -complete。然而，我想知道，如果这些˚F的是多项式仅具有整数系数，即˚F 1，⋯ ，˚F 米 ∈ ż [ X 1，⋯ $R$$f_1,\cdots, f_m\in R[x_1, \cdots, x_n]$$NP_R$$f$$f_1,\cdots, f_m\in Z[x_1, \cdots, x_n]$，仍是问题 -hard？（显然是在N P R中）。$NP_R$$NP_R$

我怀疑是的，但是有简单的证明吗？

我认为答案是“ 否”，假设$\mathsf{P}_{\mathbb{R}} \neq \mathsf{NP}_{\mathbb{R}}$（我相信我在下面提供了一个证明，但是这里有足够的潜在挑剔的定义性问题，我对自己的主张持谨慎态度）。

证明答案是无假设$\mathsf{P}_\mathbb{R} \neq \mathsf{NP}_{\mathbb{R}}$：实际上，我相信以下更强有力的说法成立：

引理：对于任何BSS决策问题超过ř，如果大号聚时间-BSS ř减少对整数输入，则一个问题大号∈ P - [R 。$L$$\mathbb{R}$$L$$_{\mathbb{R}}$$L \in \mathsf{P}_\mathbb{R}$

引理的证明：假设存在多项式时间BSS R从L到整数输入的问题，由机器M给出。对于由n个实参组成的输入，将M的计算展开到代数计算树中。只有有限的叶子，每个叶子的结果是输入参数中的一个有理函数。为了使实数输入的有理函数始终输出整数值，它必须是常数函数，因此不依赖于输入。但是，每个叶子上使用哪个常数函数当然可以取决于分支。但是，由于M是一台统一的机器，所以只能有O$_{\mathbb{R}}$$L$$M$$n$$M$$M$$O(1)$输出节点，因此只有输出值。因此，可以简单地修改M以决定$O(1)$$M$$L$在多项式时间内QED

现在，使为实多项式的实际可行性。如果P [R ≠ Ñ P - [R ，然后大号∉ P - [R ，以及由引理没有来自还原大号到整数输入中的任何问题（特别地，到实际的可行性$L$$\mathsf{P}_{\mathbb{R}} \neq \mathsf{NP}_{\mathbb{R}}$$L \notin \mathsf{P}_{\mathbb{R}}$$L$整数多项式）。

答应问题吗？：您的问题的另一个潜在问题是整数多项式的实际可行性可能不在，而仅在其允诺版本中。这里的问题是，要验证输入（例如多项式f i的系数）是否为整数，需要花费的时间取决于x的大小，而用于的实例集（所有实例，而不仅仅是yes-instances）一个ñ P ř决策问题应在可判定P $\mathsf{NP}_{\mathbb{R}}$$f_i$$x$$\mathsf{NP}_{\mathbb{R}}$$\mathsf{P}_\mathbb{R}$，后者的含义，它需要多项式时间中的参数数，而不是其数量级。我认为，这与整数在实数中不可一阶定义的事实密切相关。（本质上最好的一个BSS ř -machine可以做测试，如果输入X是一个整数是计算的整数部分X通过计算的功率2和做“二进制搜索。”一旦它的计算的整数部分X，它只需检查那是否等于x。）因此，我认为整数方程的实际可行性问题在P r o m i s e N P R中，但可能不在$_{\mathbb{R}}$$x$$x$$2$$x$$x$$\mathsf{PromiseNP}_{\mathbb{R}}$（或者至少看起来不难证明它在 N P R中）。$\mathsf{NP}_{\mathbb{R}}$$\mathsf{NP}_{\mathbb{R}}$