复杂性类运算符的良好参考？

我感兴趣的是，在撰写复杂性类运算符时，是否有任何我可以引用的优秀说明性文章或调查报告：通过执行诸如添加量词之类的操作来转换复杂性类的运算符。

运算符示例

以下内容可以解释为答案应该能够描述的最基本的运算符列表。在这里，$\mathbf C$是在任意有限字母上的任意语言集$\Sigma$。

$\exists \mathbf C := \left\{ L \subseteq \Sigma^\ast \,\left|\, \begin{array}{l} \exists A \in \mathbf C \;\exists f \in O(\mathrm{poly}(n))\;\forall x \in \Sigma^\ast: \\\quad \bigl[x \in L \iff \exists c \in \Sigma^{f(|x|)}: (x,c) \in A \bigr] \end{array} \right\}\right.$

• 所述$\exists$操作员显然是由瓦格纳[1]引入，尽管有符号 $\bigvee\! \mathbf C$而不是$\exists \mathbf C$。以这种方式构成一个类的最著名的例子是$\mathsf{NP} = \exists \mathsf P$。这个操作符带有一个互补的量词$\forall$，其中$\exists c$在定义被替换$\forall c$，它允许一个容易定义整个多项式层次结构：例如，$\mathsf{\Sigma_2^P P = \exists \forall P}$。这可能是定义的第一个运算符。

$\oplus \mathbf C := \left\{ L \subseteq \Sigma^\ast \,\left|\, \begin{array}{l} \exists A \in \mathbf C \;\exists f \in O(\mathrm{poly}(n)) \;\forall x \in \Sigma^\ast: \\ \quad\bigl[x \in L \iff \#\{ c \in \Sigma^{f(|x|)}: (x,c) \in A \} \not\equiv 0 \pmod{2}\bigr]\end{array} \right\}\right.$

• 所述操作类似于∃在于操作者⊕ Ç涉及其存在是可验证的在类的证书的数量Ç，而是计数certficiates的数目取模2。这可以被用于定义类⊕ P和⊕ 大号。类似的运算符“ 中号ö d ķ ⋅ ”存在其他模量ķ。$\oplus$$\exists$$\oplus\mathbf C$$\mathbf C$$2$$\mathsf{\oplus P}$$\mathsf{\oplus L}$$\mathsf{Mod_k \cdot}$$k$

$\mathsf{co}\mathbf C := \Bigl\{ L \subseteq \Sigma^\ast \,\Big|\, \exists A \in \mathbf C \;\forall x \in \Sigma^\ast: \bigl[x \in L \iff x \notin A \bigr] \Bigr\}$

• 这是互补运算符，默认用于定义，c o C = P，c o M o $\mathsf{ coNP}$$\mathsf{coC_=P}$以及许多其他未知的类别，这些类别不知道在补码下是封闭的。$\mathsf{coMod_kL}$

—对此表示歉意$\mathsf{BP}\cdot\mathbf C := \left\{ (\Pi_0, \Pi_1) \,\left|\, \begin{array}{l} \Pi_0, \Pi_1 \subseteq \Sigma^\ast \;\mathbin\&\; \exists A \in \mathbf C \; \exists f \in O(\mathrm{poly}(n))\;\forall x \in \Sigma^\ast: \\ \quad\left[\begin{array}{l} \bigl(x \in \Pi_0 \Leftrightarrow \#\{c \in \Sigma^{f(|x|)}: (x,c) \in A \} \leqslant \tfrac{1}{3} {|\Sigma^{f(|x|)}|} \bigr) \mathbin\& \\ \bigl(x \in \Pi_1 \Leftrightarrow \#\{c \in \Sigma^{f(|x|)}: (x,c) \in A \} \geqslant \tfrac{2}{3} {|\Sigma^{f(|x|)}|} \bigr) \end{array}\right]\end{array}\right\}\right.$

• 所述操作员显然是由Schöning引入[2]，尽管定义语言（即他不容许的概率间隙）并且不使用显式的常数$\mathsf{BP}$或$\tfrac{1}{3}$。这里定义的产量承诺-问题，而不是与YES-实例Π1和NO-实例中Π0。需要注意的是乙PP=乙P⋅P，和阿中号=乙P⋅ÑP; 这个操作者用户田和荻原[3]表明，P＃P⊆乙P＆CenterDot;＆＆CirclePlus;P。$\frac{2}{3}$$\Pi_1$$\Pi_0$$\mathsf{BPP = BP\cdot P}$$\mathsf{AM = BP\cdot NP}$$\mathsf{P^{\#P} \subseteq BP\cdot\oplus P}$

备注

其他重要的运营商，其中一个可以从标准的类的定义抽象是（从类C ^ = P和C ^ =大号）和Ç ⋅ Ç（从类P P和P 大号）。这也是隐含在大多数文学创作的˚F ⋅（从决策类产生的功能问题）和＃⋅（从产生决策类计数类）也是复杂的运营商。$\mathsf{C_= \cdot\mathbf C}$$\mathsf{C_= P}$$\mathsf{C_= L}$$\mathsf C\cdot\mathbf C$$\mathsf{PP}$$\mathsf{PL}$$\mathsf{F\cdot}$$\#\cdot$

Borchert和Silvestri [4]有一篇文章建议为每个类定义一个运算符，但是在文献中似乎没有提及太多。我还担心这样一种通用方法可能会带来细微的定义问题。他们又指好介绍的凯柏勒，Schöning和Torán[5]，然而现在已有20岁了，也似乎错过。$\oplus$

题

对于复杂性类运算符，哪本书或文章是很好的参考？

参考文献

[1]：K. Wagner，简洁输入表示形式的组合问题的复杂性，Acta Inform。23（1986）325–356。

[2]：U。Schöning， U.Schöning，Proc中的概率复杂度类和低度。第2届IEEE复杂性理论结构会议，1987年，第2-8页；同样在J. Comput中。System Sci。，39（1989），第84-100页。

[3]：S. Toda和M. Ogiwara，计数类至少与多项式时间层次结构一样难 SIAM J. Comput。21（1992）316–328。

[4]：B。and Borchert，R. Silvestri，点运算符，《理论计算机科学》第262卷（2001），第501-523页。

[5]：J.Köbler，U。Schöning和J.Torán，图同构问题：其结构复杂性，Birkhäuser，巴塞尔（1993年）。

这是具有许多运算符定义的参考（尽管没有很多细节）：

S. Zachos和A. Pagourtzis， 组合复杂性：复杂性类的运算符》，第四届泛希腊逻辑研讨会论文集（PLS 2003），塞萨洛尼基，2003年7月7日至10日。

• 它定义了一个身份运算符，以及运算符c o-，N（与上面的∃对应），B P，R（与有界单边误差相对应），⊕，U（与带有唯一接受的非确定性相对应）过渡），P（对应于无界双面误差），和Δ（其中一类ç形式ç ∩ ç Ò ç）。$\mathcal E$$\mathsf{co}$$\mathsf{N}$$\exists$$\mathsf{BP}$$\mathsf{R}$$\oplus$$\mathsf U$$\mathsf P$$\Delta$$\mathbf C$$\mathbf C \cap \mathsf{co}\mathbf C$

• 它表明：

  1. 是关于组成[定义1]的标识元素；$\mathcal E$
  2. 是自反的[定义2]；$\mathsf{co}$
  3. 是等幂[定义3] -隐含的是乙P， - [R ， ⊕， ü，和 P也幂等;$\mathsf{N}$$\mathsf{BP}$$\mathsf{R}$$\oplus$$\mathsf U$$\mathsf{P}$
  4. 和 P与通勤 Ç ö - [定义4,8]，而 ⊕是下右键组合物与不变 Ç ö - [定义6];$\mathsf{BP}$$\mathsf{P}$$\mathsf{co}$$\oplus$$\mathsf{co}$
  5. 上述运营商都单调（即，为所有运营商 ø以上）：${\mathbf C_1 \subseteq \mathbf C_2} \implies {\mathcal O\cdot\mathbf C_1 \subseteq \mathcal O\cdot\mathbf C_2}$$\mathcal O$

Throughout, it also describes a handful of ways that these operators relate to traditional complexity classes, such as $\mathsf{\Sigma^p_2 P}$, $\mathsf{ZPP}$, $\mathsf{AM}$, $\mathsf{MA}$, etc.

As an introductory reference to the notion of a complexity operator (and demonstrating some applications of the idea), the best I have found so far is

D. Kozen, Theory of Computation (Springer 2006)

which is derived from lecture notes on computational complexity and related topics. On page 187 ("Supplementary Lecture G: Toda's Theorem"), he defines the operators

• $\mathsf R$ (for random certificates with bounded one-sided error, as in the class $\mathsf{RP}$)
• $\mathsf{BP}$ (for random certificates with bounded two-sided error, see above)
• $\mathsf P$ (for random certificates with unbounded error, c.f. $\mathsf C$ in the remarks above)
• $\oplus$ (for an odd number of certificates, see above)
• $\Sigma^{\mathrm{p}}$ (for existence of polynomial-length certificates, c.f. $\exists$ above)
• $\Sigma^{\mathrm{log}}$ (for existence of $O(\log n)$-length certificates, c.f. $\exists$ above)
• $\Pi^{\mathrm{p}}$ and $\Pi^{\mathrm{log}}$ (complementary operators to $\Sigma^{\mathrm{p}}$ and $\Sigma^{\mathrm{log}}$: see remarks on $\forall$ above)
• $\#$ (defining a counting class, c.f. remarks above)

and tacitly defines $\mathsf{co\text-}$ on page 12 in the usual way.

Kozen's treatment of these operators is enough to indicate how they are connected with the "usual" complexity classes, and to describe Toda's theorem, but does not much discuss their relationships and only mentions them for a total of 6 pages (in what is after all a book covering a much wider topic). Hopefully someone can provide a better reference than this.