在G（n，p）中种植集团，变化p

在种植的派系问题中，必须恢复种植在Erdos-Renyi随机图的形。对于，大多数人都在研究它，在这种情况下，如果是已知的，那么多项式时间可解，而对于很难。$k$$G(n,p)$$p=\frac{1}{2}$$k > \sqrt{n}$$k< \sqrt{n}$

我的问题是：对其他值知道/相信什么？具体地说，当在是常数时。是否有证据表明，对于每个这样的值，存在一些，问题在计算上很困难？$p$$p$$[0,1]$$p$$k=n^{\alpha}$

引用将特别有帮助，因为我没有找到任何文献来研究以外的其他值的问题。$p=\frac{1}{2}$

如果 $p$ 是常数，则最大派系的大小 $G(n,p)$ 模型几乎无处不在 $\log n$，与 $\log (1/p)$。（请参阅Bollobás，第283页和推论11.2）。$p$ 因此，不应影响与 $\omega(\log n)$只要团对于现有的算法方法来说都太小，顶点就可以工作。因此，我希望不断$p \ne 1/2$ 种植集团的硬度应该像 $p=1/2$ 情况，尽管有可能 $p$ 非常接近0或1的行为可能会有所不同。

特别是对于 $p\ne 1/2$ 相同的阈值 $\Omega(n^{\alpha})$ 对于 $\alpha = 1/2$因为所应用的群体的大小适用，在此之上问题就变成了多项式时间。的价值$\alpha$ 这是 $1/2$ （而不是其他一些值），因为 $G(n,p)$ 几乎肯定在 $0.5\sqrt{(1-p)/p}\sqrt{n}$ 和 $2\sqrt{(1-p)/p}\sqrt{n}$，是Juhász的结果。Feige和Krauthgamer的算法使用Lovásztheta函数查找和证明最大的集团，因此它依赖于此阈值大小来进行种植。

当然，可能会有不同的算法不使用Lovásztheta函数，而对于 $p$ 远离 $1/2$ 可以找到一个说出来的集团 $n^{1/3}$顶点。据我所知，这仍然是开放的。

Feige和Krauthgamer还讨论了何时 $p$ 不是恒定的，而是取决于 $n$，并且接近于0或接近于1。在这些情况下，还存在其他方法来查找种植的群体，并且阈值大小不同。

• BélaBollobás，《随机图》（第二版），剑桥大学出版社，2001年。
• FerencJuhász，Lovász'的渐近行为$\vartheta$随机图的函数，Combinatorica 2（2）153–155，1982 . doi：10.1007 / BF02579314
• Uriel Feige和Robert Krauthgamer，在半随机图中找到并证明大型隐藏集团，《随机结构与算法》16（2）195–208，2000。doi：10.1002 /（SICI）1098-2418（200003）16：2 <195 :: AID-RSA5> 3.0.CO; 2-A

种植集团 $p \neq \frac{1}{2}$是此问题和新结果（下界）的特例，如p2等所述，其中包括相关的参考文献。（2015年）

我们表明，假设（确定性）指数时间假说，可以区分图与诱导图。 $k$-clique和一个图形，其中所有 $k$-子图最多具有密度 $1 −\varepsilon$，要求 $n^{\tilde{\Omega}(\log n)}$ 时间。

• 密度的ETH硬度-$k$-具有完美完整性的子图 / Braverman，Ko，Rubinstein，Weinstein

这是一篇新论文，该论文具有基于SVD算法的任意p≠1/2的算法。有关隐藏（植入）集团的分析，请参见第4页。

查找隐藏分区的简单SVD算法 Van Vu

抽象。在随机环境中查找隐藏分区是一个普遍而重要的问题，它包含许多著名的问题作为子问题，例如查找隐藏的团伙，查找隐藏的着色，查找隐藏的分区等。在本文中，我们提供了一个简单的SVD为此，请回答McSherry的问题。该算法非常易于实现，并且适用于具有最佳密度的稀疏图。