圆周率的计算复杂度

让

$L = \{ n : \text{the }n^{th}\text{ binary digit of }\pi\text{ is }1 \}$

（其中被认为是用二进制编码的）。那么我们可以说的计算复杂度呢？很显然，。而且，如果我没记错的话，可以使用准线性时间和内存来计算的位的惊人“ BBP型”算法，而无需计算前几位产生。$n$大号∈ Ë X P Ñ 吨ħ π （日志Ñ ）Ô （1 ）大号∈ P 小号P 甲Ç $L$$L\in\mathsf{EXP}$$n^{th}$$\pi$$(\log n)^{O(1)}$$L\in\mathsf{PSPACE}$

我们能否做得更好，并将（例如）放在计数层次结构中？另一方面，是否有任何硬度结果（甚至是一个非常弱的结果，例如硬度）？L T C$L$$L$$\mathsf{TC}^0$

一种有趣的相关语言是

$L' = \{ \langle x,t\rangle : x\text{ occurs as a substring within the first }t\text{ digits of }\pi \}$

（同样，用二进制写）。我们有$t$

$L' \in \mathsf{NP}^L$

因此 ; 如果有更好的消息，我将非常感兴趣。$L' \in \mathsf{PSPACE}$

好的，詹姆斯·李（James Lee）向我指出了萨米尔·达塔（Samir Datta）和拉梅什瓦尔·普拉塔普（Rameshwar Pratap）于2011年发表的这篇论文，证明了我的语言（对π的数字进行编码）处于计数层次结构的第四层（P H P P P P P P ;感谢下面的SamiD指出了论文中遗漏的P P，我只是在回答中重复了！）。该文件还明确讨论我的问题，降低对计算无理数的二进制数字的复杂性界限，虽然它只是设法证明一个非常弱的下限计算的二进制数字合理$L$$\pi$$\mathsf{PH}^{\mathsf{PP}^{\mathsf{PP}^{\mathsf{PP}}}}$$\mathsf{PP}$数字。这正是我想要的。

更新（4月3日）：的数字在计数层次结构中可计算的有趣结果如下。假定π是一个正数（二进制扩展迅速收敛到“有效随机”），并假定P = P P（模拟只涉及一个小的多项式开销）。然后，对您的计算机进行编程以找到，例如，在π的二元展开式中第一次出现莎士比亚全集是可行的。如果您觉得这很荒谬，那么也许应该作为P ≠ P P的补充证据。:-)$\pi$$\pi$$\mathsf{P} = \mathsf{PP}$$\pi$$\mathsf{P} \ne \mathsf{PP}$