修剪紧密连接的有向图

给定一个具有加权边的强连通有向图G，我想确定证明不属于G的任何最小强连通子图（MSCS）的边缘。

查找此类边缘的一种方法是改良的Floyd-Warshall算法。使用Floyd-Warshall算法，可以识别出哪些边永远不是从顶点i到j的最佳选择。这些节点不能成为MSCS的一部分，因为最好将它们替换为两个或更多其他边缘。

当边缘权重变化很大时，Floyd-Warshall修剪技术效果很好，但是当边缘权重相似但幅度较大时，效果很差。

您知道任何适用于较大的相似边缘权重的有效修剪方法吗？这个问题等于我不认识的更常见的问题吗？以前是否在文献中研究过这种修剪？

我们假设边缘权重是正整数。给定具有边缘权重的有向图G，如果e不属于G的任何最小权重强连通子图，则称边缘e为 冗余。

我们声称，除非P = NP，否则没有多项式时间算法会始终在给定的有向图中以边权重来找到冗余边，只要有边权。更确切地说：

定理。给定具有边缘权重的有向图G，NP很难在G中找到冗余边缘或声明G没有冗余边缘。

证明。关键的观察结果是，如果G具有唯一的最小权重的强连接生成子图，则可以通过逐个删除冗余边来计算该子图。因此，有待证明，唯一性不会使最小重量的强连通跨子图问题变得更容易，但是下一个引理证明了这一点。 QED。

引理。给定一个有向图G ^与边权，这是NP-难以计算最小重量强连接的支撑子图的重量ģ即使在该承诺ģ具有独特的最小权重强连接生成子图。

证明。如您所知，通过减少汉密尔顿电路问题，无法保证的问题是NP难题（即使对于单位重量的情况）。我们将没有承诺的问题减少到有承诺的问题上。

令G为具有边权重的有向图。用e ₀，e ₁，…，e _{m -1}标记G的边缘，其中m是G中的边缘数。令w _i为边缘e _i的给定权重。让新的重量瓦特 ' _我 = 2时^米瓦特_我 2 ^我。然后，很容易验证具有新权重的G是否具有唯一的最小权重强连接的跨子图。也很容易验证最小重量W¯¯在强连接的支撑子图的ģ与原来的权重可以从最小权重来计算w ^ '在ģ与新的权重w ^ =⌊ w ^ '/ 2 ^米 ⌋。 QED。