归纳类型违反严格的阳性条件导致不一致的示例

大多数从属类型系统对于归纳类型都具有严格的阳性条件。有人知道违反条件会导致系统不一致的例子吗？

实际上有可能放松严格的积极性并保持一致。例如，仅具有一个阳性条件就足够了。也就是说，我们可以接受类似的类型定义

$$T \triangleq \mu\alpha. (\alpha \to 2) \to 2$$

递归类型变量出现在偶数个箭头的左侧，并保持一致性。

但是，允许这种归纳类型的理论没有集合论模型-您不能将类型解释为集合，也不能将术语解释为集合的元素。在这种情况下，我们说$T$ 与它的双幂集同构（即， $T \simeq \mathcal{P}(\mathcal{P}(T))$），这违反了Cantor定理。

由于依赖类型理论通常用于形式化数学，因此，即使是一致的，他们的设计人员通常也不愿意添加与集合论语义不兼容的原理。

编辑：我添加此编辑以响应安德烈（Andrej）的问题。类型$T$ 如果将其添加到（例如）Agda，则保持一致；完全没有问题。只有将非严格的积极性与排除的中间因素相结合，我们才有问题。

从参数的角度可以最好地看出为什么安全的直觉（IMO）。在系统F中，我们可以显示出对于任何可定义函子使用参数$F$， 类型 $\mu F \triangleq \forall \alpha.\; (F\alpha \to \alpha) \to \alpha$ 确实是归纳型。

现在，回想一下一个可定义的函子 $F$ 是类型运算符 $F : \ast \to \ast$，与操作员一起

$$\mathrm{map} : \forall \alpha,\beta.\;(\alpha \to \beta) \to F\;\alpha \to F\;\beta$$ 满足功能性条件（即， $\mathrm{map}\;id = id$ 和 $\mathrm{map}\;f\;\circ \mathrm{map}\;g = \mathrm{map}\;(f \circ g$）。

现在，我们可以为double powerset定义类型运算符

$$C = \lambda \alpha.\; (\alpha \to 2) \to 2$$

而且因为 $\alpha$ 仅发生肯定的情况，我们还可以为其定义地图操作符：

$$map_C = \lambda f : \alpha \to \beta, a' : (\alpha \to 2) \to 2, k : \beta \to 2.\; a' \;(\lambda a:\alpha.\; k\;(f\;a))$$

所以我们知道 $T = \mu C$ 是合法的归纳类型。