比较整数3SUM问题的两种算法

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Ilya Baran，Erik D. Demaine和Mihai Patrascu撰写的论文“ 3SUM的二次方程式算法”具有以下复杂性：

3SUM问题： 给定一个列表 $L$ 的 $n$ 整数如果有 $x,y,z \in L$ 使得 $x+y=z.$

$w-$ $O(n^2/ \max\{w \log w, \log n (\log \log n)^2 \})$ $AC0$ $O(n^2/ w^2 \log w)$ $O(n^2/(MB))$ $O(n^2/ MB \log M )$

最近，Grondlund和Pettie发表的论文“ Threesomes，Degenerates和Love Triangles”证明“ 3SUM的决策树复杂度为，并且存在以时间运行的随机3SUM算法，以及以运行]的确定性算法时间。 $O(n^{3/2}\sqrt{\log n})$ $O(n^2(\log \log n)^2/\log n)$ $O(n^2(\log \log n)^{5/3}/(\log n)^{2/3})$

这些结果驳斥了3SUM猜想的最强形式，即其决策树（和算法）复杂度为 $Ω(n^2)$ 。”

请参阅此处的第二篇论文。

显然，两者都是重要论文。我不是这个领域的专家，但我的问题是，鉴于复杂性模型的不同，如何比较两者的影响和意义。也欢迎就此问题发表其他有见地的评论。例如，第一篇论文是否已经排除了 $\Omega(n^2)$ 界线？

cc.complexity-theory ds.algorithms

— 科德鲁
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以下几点有助于对新结果进行透视。

决策树的复杂度结果很大。一条攻击线（而Jeff Erickson可以说更多）是通过查看问题的决策复杂度（即解决问题所需的比较次数）来尝试降低3SUM。希望可以达到接近。 $\Omega(n^2)$

该结果确定性地破坏了带有界限的该参数。请注意，这并未说明问题的真正复杂性。它说决策树的下限不会发生。并且（连同其他证据）在3SUM在“道德上”接近的基本前提下引起了怀疑。 $O(n^{3/2})$ $n^2$

该算法的结果是无条件地二次分解的（即不在单词并行模型中）。这很重要，尽管我想人们可能会对一个常数不是感到。 $O(n^{2-\epsilon})$ $\epsilon$

正如@domotorp所说，这很可能是一系列新结果的开始。真的很难说。当前的上限来自Timothy Chan的一些魔术技巧，“重新实现”了决策树算法。可以想象这可以进一步推进。

— 苏雷什·文卡特（Suresh Venkat）
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杰夫·埃里克森（Jeff Erickson）可以在此多说-确实没有更多要说的。我证明了自然决策树模型需要深度 ; 新论文表明，使用稍微强一点的模型，深度就足够了。回顾一下，鉴于弗雷德曼和陈的关于X + Y和最短路径排序的结果，这个结果并不令人惊讶。但是，它确实完全封闭了自然攻击路线。正如我告诉塞思，我同时感到难以置信和嫉妒。

Ω (n^{2})

$\Omega(n^2)$

O (n^{3 / 2})

$O(n^{3/2})$

— Jeffε

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如果我们知道每个输入数字都有位，并且可以在一个步骤中添加两个位数，则第一篇论文实质上给出了一个二次方程算法。这不是一个非常令人惊讶的结果，并且不排除界。 $w$ $w$ $\Omega(n^2)$

第二篇论文没有使用任何这样的假设，而是提高了决策树的指数，这是一个令人惊讶的结果，尽管它不如所有算法略大，因为它们仅稍有改善（因此证明了最强的猜想）。我想不久将会有更多结果。 $n$

— 多摩普
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我对这两个答案都很满意，但是只能接受一个，因此我接受了更详细的答案。

— kodlu 2014年