区分两枚硬币

众所周知，将偏向硬币与公平硬币区分开的复杂度是。有区别硬币和硬币的结果吗？我可以看到，对于这种特殊情况时，复杂性将是。我有一个预感，复杂度将取决于是否为，但不能如此严格地证明。有任何提示/参考吗？ $\epsilon$ $\theta(\epsilon^{-2})$ $p$ $p+\epsilon$ $p=0$ $\epsilon^{-1}$ $p$ $\epsilon$

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— 爱好
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我建议您使用以下论文中找到的框架：

除了线性密码分析，我们还能走多远？，托马斯·贝格内雷斯（ThomasBaignères），帕斯卡尔·朱诺（Pascal Junod），塞尔日·沃德奈（Serge Vaudenay），亚洲国际电影节2004。

关键的结果说，你需要，其中 $n \sim 1/D(D_0 \,||\, D_1)$ 是两个分布和之间的Kullback-Leibler距离。扩展KL距离的定义，我们发现您的情况 $D(D_0 \,||\, D_1)$ $D_0$ $D_1$

D (D_{0} | | D_{1}) = p \log \frac{p}{p + ϵ} + (1 - p) \log \frac{1 - p}{1 - p - ϵ},

$D(D_0 \,||\, D_1) = p \log \frac{p}{p+\epsilon} + (1-p) \log \frac{1-p}{1-p-\epsilon},$

约定。 $0 \log \frac0p = 0$

当，我们发现 $p \gg \epsilon$ 。因此，当，我们发现，你需要硬币翻转。当，我们得到 $D(D_0 \,||\, D_1) \approx \epsilon^2/(p(1-p))$ $p \gg \epsilon$ $n \sim p(1-p)/\epsilon^2$ $p = 0$ ，所以需要硬币翻转。因此，该公式与您已经知道的特殊情况是一致的...但是它推广到所有。 $D(D_0 \,||\, D_1) = -\log(1-\epsilon) \approx \epsilon$ $n \sim 1/\epsilon$ $n,\epsilon$

有关理由，请参阅本文。

当，理由是容易的工作，通过手。对于观测值，的数目是或，因此您想要找到最小的以便可以区分这两个分布。 $p \gg \epsilon$ $n$ $\text{Binomial}(n,p)$ $\text{Binomial}(n,p+\epsilon)$ $n$

您可以通过均值和方差正确的高斯近似这两种方法，然后使用标准结果来区分两个高斯，因此答案应该会落空。近似是好的，如果左右。 $p \ge 5/n$

$\mathcal{N}(\mu_0,\sigma_0^2)$ $\mathcal{N}(\mu_1,\sigma_1^2)$ $\mu_0 = pn$ $\mu_1 = p+\epsilon)n$ $\sigma_0^2 = p(1-p)n$ $\sigma_1^2 = (p+\epsilon)(1-p-\epsilon)n$ $\text{erfc}(z)$ $z = (\mu_1-\mu_0)/(\sigma_0+\sigma_1) \approx \epsilon \sqrt{n / 2p(1-p)}$ $z \sim 1$ $n \sim 2p(1-p)/\epsilon^2$ $p \gg \epsilon$

对于一般情况...请参阅本文。

— DW
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