不均匀的不合理力量

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从常识的角度来看，很容易相信在中添加不确定性会大大扩展其功能，即比大得多。毕竟，非确定性允许指数并行，这无疑是非常强大的。 $\mathsf{P}$ $\mathsf{NP}$ $\mathsf{P}$

另一方面，如果我们仅向添加非均匀性，获得，则直觉就不太清楚了（假设我们排除了中可能出现的非递归语言））。可以预见到，仅允许针对不同的输入长度使用不同的多项式时间算法（但不离开递归域），其扩展性要比非确定性中的指数并行性强。 $\mathsf{P}$ $\mathsf{P}/poly$ $\mathsf{P}/poly$

但是，有趣的是，如果将这些类与非常大的类进行比较，则会发现以下违反直觉的情况。我们知道正确包含，这并不奇怪。（毕竟，允许双指数并行。）另一方面，当前，我们不能排除。 $\mathsf{NEXP}$ $\mathsf{NEXP}$ $\mathsf{NP}$ $\mathsf{NEXP}$ $\mathsf{NEXP}\subseteq \mathsf{P}/poly$

因此，从这个意义上讲，非均匀性在被添加到多项式时间后，可能会变得异常强大，甚至可能比不确定性更强大。它甚至可以模拟双指数并行！即使我们认为并非如此，但目前尚不能排除这种事实，这仍然表明复杂性理论家正在这里与“强大的力量”作斗争。

您将如何向聪明的外行人解释这种非均匀性“不合理的力量”的背后是什么？

cc.complexity-theory complexity-classes big-picture

— 安德拉斯·法拉戈（Andras Farago）
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难以理解不均匀性（并证明一般电路的下限）并不一定意味着不均匀性很强大（就可以使用它来解决有趣的问题而言）。

— 卡夫2014年

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我认为没有人会相信甚至。这些问题仍然悬而未决的事实更多地说明了我们令人尴尬的无力证明赛道下限。

N E X P \subset P / p o l y

$\mathcal{NEXP} \subset \mathcal{P}/\mathrm{poly}$

N P \subset P / p o l y

$\mathcal{NP} \subset \mathcal{P}/\mathrm{poly}$

— 托马斯

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@Thomas：我不会以别人为生，但我要说的是，我认识至少一位非常受人尊敬的研究人员，他的确猜想。

E X P \subseteq P / p o l y

$\mathsf{EXP} \subseteq \mathsf{P/poly}$

— 约书亚·格罗肖

2

@Thomas：不完全是，但我认为这与我们对不均匀性的了解程度有关。例如，就我们所知，（并且如Kolmogorov所猜想的那样，请参阅cstheory.stackexchange.com/a/22048/129）P具有 -size ckts。再举一个例子，中似乎很少（如果有的话）既不稀疏也不在BPP中的自然问题（cstheory.stackexchange.com/questions/1662/…）。然而，考虑到ckts，人们会认为比随机化+表格查找功能强大得多。

O (n)

$O(n)$

P / p o l y

$\mathsf{P/poly}$

P / p o l y

$\mathsf{P/poly}$

— Joshua Grochow 2014年

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如果我们不能证明NEXP不在P / poly中来回声@thomas，则意味着存在“不合理的非均匀性能力”，然后由于我们无法证明P <> NP意味着必须具有“不合理的有效计算能力”。

— Lance Fortnow

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一个简单的答案是，这并不是我要向非专业人员解释的复杂性理论的第一件事！为了甚至欣赏非均匀性的概念以及它与非确定性的区别，您还需要深入了解复杂性类的定义，这是许多人所不愿意的。

话虽如此，当我向大学生讲解P / poly时，我发现一个有用的观点是，不均匀确实意味着随着输入长度的增加，您可以拥有无限个越来越好的算法序列。例如，在实践中，我们知道，朴素矩阵乘法算法最适合尺寸最大为100x100左右的矩阵，然后在某个点上Strassen乘法变得更好，然后，最新算法仅对于具有较大天文数字的矩阵变得更好在实践中永远不会出现。因此，如果您具有神奇的能力，可以对碰巧使用的n的最佳范围进行最佳算法归零？

当然，那将是一个奇怪的能力，并且考虑到所有事情，可能不如在多项式时间内解决NP完全问题的能力有用。但是严格来说，这将是无与伦比的能力：即使P = NP，也不会自动获得这一能力。的确，您甚至可以构造无法解决的问题的人为的示例（例如，给定0 ⁿ作为输入，第n ^个图灵机是否停止了？），该功能将使您能够解决该问题。因此，这就是非均匀性的力量。

要了解点考虑这个奇怪的力量的，你可能需要说说的追求来证明电路下界，而且，从我们的许多下界技术的角度来看，这是事实，均匀性这似乎是一个奇怪的我们几乎不需要的额外条件。

— 斯科特·亚伦森
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2

我真的很喜欢“越来越好算法的无限序列”的论点。我实际上是在寻找这样的论点，这有助于向大学生解释全局。但是，如果用

替换

，则该论点如何适用？对于

，可以重申相同的原始问题，因为当前我们也无法将

与

分开。

P / p o l y

$P/poly$

B P P

$BPP$

B P P

$BPP$

N E X P

$NEXP$

B P P

$BPP$

— Andras Farago 2014年

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BPP更容易激发动力！那只是试图对随机化的力量进行建模，而随机化的力量（与非均匀性不同）是在实践中一直使用的。（不过，我忘了提到：激发不一致性的另一种方法是通过加密。您可以指出，攻击者可以根据选择的密钥长度来优化其所有攻击资源，因此，您选择最好有一个您认为可以在固定长度上对不均匀攻击者（而不是对统一攻击者）安全的加密系统。）

— Scott Aaronson

1

我完全同意

更容易激励。但是，这还不是很清楚：是什么赋予

如此强大的功能，以至于我们目前不能排除它甚至可以模拟

的双指数并行性？因为

仅通过随机性与形式

不同，并且有充分的理由推测这里的随机性无能为力（即

），所以在我看来这是一个奇怪的情况。我正在寻找一种对这种情况的“哲学理解”，这超出了这些工具缺乏证明的明显事实。

B P P

$BPP$

B P P

$BPP$

N E X P

$NEXP$

B P P

$BPP$

P

$P$

P = B P P

$P=BPP$

。

N E X P \neq B P P

$NEXP\neq BPP$

— Andras Farago 2014年

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但如果真的有什么是只是工具缺乏的事实？我们拥有层次定理，这使我们证明更多的相同资源为您提供了更多的能力（例如

），并且当我们无法简化为层次定理时，我们通常会陷入困境。这是一个复杂性层次结构中普遍存在的问题，而不是

特有的问题。

P \neq E X P

$P\ne EXP$

B P P

$BPP$

— Scott Aaronson

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这是我最近听到的“平滑”论点，以捍卫非均匀计算模型应该比我们怀疑的功能更强大的主张。一方面，我们从时间层次定理知道，有功能的时间可计算不在时间可计算，例如。另一方面，根据卢帕诺夫定理，输入上的任何布尔函数都可以由大小为 $O(2^{2n})$ $O(2^{n})$ $n$ $(1+o(1))2^n/n$ 。因此，如果我们声称不均匀性并不能提供太多功效，即行为应类似于，则该主张应突然停止。当变为。但是这种行为-两种复杂性措施并驾齐驱，直到其中一种突然变得功能强大-似乎是武断的，有些不自然。 $\mathsf{SIZE}(f(n))$ $\mathsf{DTIME}(f(n)^{O(1)})$ $f(n)$ $2^{O(n)}$

在另一方面，如果电路是足够强大的那，然后由卡普-利普顿多项式层次瓦解的第二个层次，这也将是奇怪：为什么会量词突然停止给计算更多的权力？我不确定这将给我们带来什么。 $\mathsf{NP} \subseteq \mathsf{P/poly}$

— 萨肖·尼科洛夫（Sasho Nikolov）
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1

很有意思！它很好地说明了我们对计算的非均匀（电路）模型的理解还远远不够。

— Andras Farago 2014年

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没有评论这种崩溃是否可能发生：当这足以使两种类型的量词都足够时，第二级的计算能力是否突然停止？

— Niel de Beaudrap 2014年

@NieldeBeaudrap非常有趣的一点。当然，所有这些（包括我的答案中的推测）都比神学多于数学，但是推测很有趣。

— Sasho Nikolov

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@Sasho：这不是神学，甚至不是观点：这是原型，不是吗？这是对可能相关的想法的解释，并权衡它们以求凭直觉。迷失在树林中时，没有太多要做，但是比讲鬼故事更有生产力。:-)

— Niel de Beaudrap 2014年

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我假设与某人谈论和意味着该人熟悉 vs 问题和验证解决对偶。 $\mathbb{P/poly}$ $\mathbb{NP}$ $\mathbb{P}$ $\mathbb{NP}$

然后，我将尝试解释如此强大，因为对于每种不同的长度，TM都被建议可以完全信任。然后，我要提到的是，我们可以设计出每个输入长度（即一元）具有1个单词的硬（实际上是非TM可计算的）语言，因此它们处于P / poly模式！但是也许多项式长建议不足以解决所有语言，因为我们为每个不同的输入提供了不同的提示。 $\mathbb{P/poly}$ $\mathbb{NP}$

另一方面，我想提醒那个人必须验证答案，而不是完全信任它。因此，我们不能对每个输入长度使用相同的建议，这可能无法验证！ $\mathbb{NP}$

最后，我想提的是复杂性理论家认为，在语言需要超过多项式多提示一些输入长度，因而不能在。 $\mathbb{NP}$ $\mathbb{P/poly}$

提供良好理解的一个关键点是，我清楚地知道建议和“提示”（即证书）是不同的东西，以及它们之间的不同之处，这是我第一次教该科目时也很常见。

— Chazisop
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对我来说，非均匀性力量的最鲜明的例证是，暂停问题的适当填充版本已经在P / 1中。这样，仅需一点建议就可以用一个简单的TM决定该语言，该TM只返回建议位。

当然，将不确定的语言填充成指数的数量意味着在P / poly中它不是“道德上”的。但这确实表明，在允许不均匀时，需要小心。

— 安德拉斯·萨拉蒙（AndrásSalamon）
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我的印象是，这里的真正问题是不合理的举证责任，而不是不统一的不合理能力。正如chazisop和AndrásSalamon的答案已经强调的那样，即使完全限制了非常不统一的语言，不确定的语言也可以计算，因为举证责任已被完全免除。

$2^n$ $n$ $n$ $n$ $n$ $2^n\exp(O(n))=\exp(n\log(2)+O(n))=\exp(O(n))$

$n$ $\mathsf{NEXP}$

$\mathsf{P/poly'}\subseteq \mathsf{NP}$ $n$ $\mathsf{P/poly'}$ $\mathsf{P}$ $\mathsf{NP}\subseteq\mathsf{P/poly'}$ ）仍然成立，但是这个陈述不如真实的Karp-Lipton定理有趣。

— 托马斯·克里姆佩尔
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